MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnre Structured version   Unicode version

Theorem axcnre 9540
Description: A complex number can be expressed in terms of two reals. Definition 10-1.1(v) of [Gleason] p. 130. Axiom 17 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-cnre 9564. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnre  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem axcnre
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-c 9497 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 eqeq1 2471 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <-> 
A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2980 . 2  |-  ( <.
z ,  w >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  <->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
4 opelreal 9506 . . . . . 6  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
5 opelreal 9506 . . . . . 6  |-  ( <.
w ,  0R >.  e.  RR  <->  w  e.  R. )
64, 5anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) 
<->  ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)
76biimpri 206 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
8 df-i 9500 . . . . . . . . 9  |-  _i  =  <. 0R ,  1R >.
98oveq1i 6293 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )  =  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )
10 0r 9456 . . . . . . . . . 10  |-  0R  e.  R.
11 1sr 9457 . . . . . . . . . . 11  |-  1R  e.  R.
12 mulcnsr 9512 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 0R  e.  R.  /\ 
1R  e.  R. )  /\  ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )
)  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
1310, 11, 12mpanl12 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  -> 
( <. 0R ,  1R >.  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>. )
1410, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. ( ( 0R 
.R  w )  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) ) >. )
15 mulcomsr 9465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  w )  =  ( w  .R  0R )
16 00sr 9475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  0R )  =  0R )
1715, 16syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  .R  w )  =  0R )
1817oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) ) )
19 00sr 9475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1R  e.  R.  ->  ( 1R  .R  0R )  =  0R )
2011, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1R 
.R  0R )  =  0R
2120oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  ( -1R  .R  0R )
22 m1r 9458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
23 00sr 9475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
.R  0R )  =  0R )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
.R  0R )  =  0R
2521, 24eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) )  =  0R
2625oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  ( 0R  +R  0R )
27 0idsr 9473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  +R  0R )  =  0R )
2810, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0R 
+R  0R )  =  0R
2926, 28eqtri 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0R 
+R  ( -1R  .R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R
3018, 29syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) )  =  0R )
31 mulcomsr 9465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1R 
.R  w )  =  ( w  .R  1R )
32 1idsr 9474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  .R  1R )  =  w )
3331, 32syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 1R  .R  w )  =  w )
3433oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) ) )
35 00sr 9475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R  e.  R.  ->  ( 0R  .R  0R )  =  0R )
3610, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0R 
.R  0R )  =  0R
3736oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  +R  ( 0R  .R  0R ) )  =  ( w  +R  0R )
38 0idsr 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  0R )  =  w )
3937, 38syl5eq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  R.  ->  (
w  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4034, 39eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  R.  ->  (
( 1R  .R  w
)  +R  ( 0R 
.R  0R ) )  =  w )
4130, 40opeq12d 4221 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  R.  ->  <. (
( 0R  .R  w
)  +R  ( -1R 
.R  ( 1R  .R  0R ) ) ) ,  ( ( 1R  .R  w )  +R  ( 0R  .R  0R ) )
>.  =  <. 0R ,  w >. )
4214, 41eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. 0R ,  1R >.  x. 
<. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
439, 42syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  R.  ->  (
_i  x.  <. w ,  0R >. )  =  <. 0R ,  w >. )
4443oveq2d 6299 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
4544adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )  =  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. 0R ,  w >. ) )
46 addcnsr 9511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  0R  e.  R. )  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4710, 46mpanl2 681 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( 0R  e.  R.  /\  w  e.  R. )
)  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>. )
4810, 47mpanr1 683 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. 0R ,  w >. )  =  <. (
z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >. )
49 0idsr 9473 . . . . . 6  |-  ( z  e.  R.  ->  (
z  +R  0R )  =  z )
50 addcomsr 9463 . . . . . . 7  |-  ( 0R 
+R  w )  =  ( w  +R  0R )
5150, 38syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( w  e.  R.  ->  ( 0R  +R  w )  =  w )
52 opeq12 4215 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  +R  0R )  =  z  /\  ( 0R  +R  w
)  =  w )  ->  <. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w )
>.  =  <. z ,  w >. )
5349, 51, 52syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. ( z  +R  0R ) ,  ( 0R  +R  w ) >.  =  <. z ,  w >. )
5445, 48, 533eqtrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  -> 
<. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
55 opex 4711 . . . . 5  |-  <. z ,  0R >.  e.  _V
56 opex 4711 . . . . 5  |-  <. w ,  0R >.  e.  _V
57 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. z ,  0R >.  e.  RR ) )
58 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. w ,  0R >.  e.  RR ) )
5957, 58bi2anan9 871 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR ) ) )
60 oveq1 6290 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( x  +  ( _i  x.  y
) )  =  (
<. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  y
) ) )
61 oveq2 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( _i  x.  y )  =  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) )
6261oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. w ,  0R >.  ->  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  y )
)  =  ( <.
z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. )
) )
6360, 62sylan9eq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )
6463eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  ( _i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) )
6559, 64anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  ->  ( (
( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) )  <->  ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) ) ) )
6655, 56, 65spc2ev 3206 . . . 4  |-  ( ( ( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  <. w ,  0R >.  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( <. z ,  0R >.  +  (
_i  x.  <. w ,  0R >. ) ) )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
677, 54, 66syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x E. y
( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) ) )
68 r2ex 2985 . . 3  |-  ( E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y
) ) ) )
6967, 68sylibr 212 . 2  |-  ( ( z  e.  R.  /\  w  e.  R. )  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  <. z ,  w >.  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
701, 3, 69optocl 5075 1  |-  ( A  e.  CC  ->  E. x  e.  RR  E. y  e.  RR  A  =  ( x  +  ( _i  x.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2815   <.cop 4033  (class class class)co 6283   R.cnr 9242   0Rc0r 9243   1Rc1r 9244   -1Rcm1r 9245    +R cplr 9246    .R cmr 9247   CCcc 9489   RRcr 9490   _ici 9493    + caddc 9494    x. cmul 9496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-ni 9249  df-pli 9250  df-mi 9251  df-lti 9252  df-plpq 9285  df-mpq 9286  df-ltpq 9287  df-enq 9288  df-nq 9289  df-erq 9290  df-plq 9291  df-mq 9292  df-1nq 9293  df-rq 9294  df-ltnq 9295  df-np 9358  df-1p 9359  df-plp 9360  df-mp 9361  df-ltp 9362  df-enr 9432  df-nr 9433  df-plr 9434  df-mr 9435  df-0r 9437  df-1r 9438  df-m1r 9439  df-c 9497  df-i 9500  df-r 9501  df-add 9502  df-mul 9503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator