MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Unicode version

Theorem axcnex 9527
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11227), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4548 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9551 instead of cnexALT 11227. Use cnex 9576 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9501 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 9437 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 9367 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 6589 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4620 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 9445 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 7374 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1392 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4582 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2527 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 6589 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2527 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1384    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   ~Pcpw 3997    X. cxp 4987    Er wer 7310   /.cqs 7312   P.cnp 9240    ~R cer 9245   R.cnr 9246   CCcc 9493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-ni 9253  df-pli 9254  df-mi 9255  df-lti 9256  df-plpq 9289  df-mpq 9290  df-ltpq 9291  df-enq 9292  df-nq 9293  df-erq 9294  df-plq 9295  df-mq 9296  df-1nq 9297  df-rq 9298  df-ltnq 9299  df-np 9362  df-plp 9364  df-ltp 9366  df-enr 9436  df-nr 9437  df-c 9501
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator