MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Unicode version

Theorem axcnex 9513
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11205), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4551 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9537 instead of cnexALT 11205. Use cnex 9562 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9487 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 9423 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 9353 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 6704 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4623 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 9431 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 7362 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1383 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4585 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2544 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 6704 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2544 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1375    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003    X. cxp 4990    Er wer 7298   /.cqs 7300   P.cnp 9226    ~R cer 9231   R.cnr 9232   CCcc 9479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-plp 9350  df-ltp 9352  df-enr 9422  df-nr 9423  df-c 9487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator