MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Unicode version

Theorem axcnex 9418
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11091), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4504 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9442 instead of cnexALT 11091. Use cnex 9467 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9392 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 9331 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 9259 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 6611 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4576 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 9339 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 7264 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1379 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4538 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2535 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 6611 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2535 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1371    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   ~Pcpw 3961    X. cxp 4939    Er wer 7201   /.cqs 7203   P.cnp 9130    ~R cer 9137   R.cnr 9138   CCcc 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-ni 9145  df-pli 9146  df-mi 9147  df-lti 9148  df-plpq 9181  df-mpq 9182  df-ltpq 9183  df-enq 9184  df-nq 9185  df-erq 9186  df-plq 9187  df-mq 9188  df-1nq 9189  df-rq 9190  df-ltnq 9191  df-np 9254  df-plp 9256  df-ltp 9258  df-enr 9330  df-nr 9331  df-c 9392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator