MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcnex Structured version   Unicode version

Theorem axcnex 9572
Description: The complex numbers form a set. This axiom is redundant in the presence of the other axioms (see cnexALT 11299), but the proof requires the axiom of replacement, while the derivation from the construction here does not. Thus, we can avoid ax-rep 4533 in later theorems by invoking the axiom ax-cnex 9596 instead of cnexALT 11299. Use cnex 9621 instead. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axcnex  |-  CC  e.  _V

Proof of Theorem axcnex
StepHypRef Expression
1 df-c 9546 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
2 df-nr 9482 . . . 4  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
3 npex 9412 . . . . . . 7  |-  P.  e.  _V
43, 3xpex 6606 . . . . . 6  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
54pwex 4604 . . . . 5  |-  ~P ( P.  X.  P. )  e. 
_V
6 enrer 9490 . . . . . . . 8  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
76a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ~R  Er  ( P. 
X.  P. ) )
87qsss 7429 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_ 
~P ( P.  X.  P. ) )
98trud 1446 . . . . 5  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  C_  ~P ( P.  X.  P. )
105, 9ssexi 4566 . . . 4  |-  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )  e.  _V
112, 10eqeltri 2506 . . 3  |-  R.  e.  _V
1211, 11xpex 6606 . 2  |-  ( R. 
X.  R. )  e.  _V
131, 12eqeltri 2506 1  |-  CC  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   T. wtru 1438    e. wcel 1868   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979    X. cxp 4848    Er wer 7365   /.cqs 7367   P.cnp 9285    ~R cer 9290   R.cnr 9291   CCcc 9538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-ni 9298  df-pli 9299  df-mi 9300  df-lti 9301  df-plpq 9334  df-mpq 9335  df-ltpq 9336  df-enq 9337  df-nq 9338  df-erq 9339  df-plq 9340  df-mq 9341  df-1nq 9342  df-rq 9343  df-ltnq 9344  df-np 9407  df-plp 9409  df-ltp 9411  df-enr 9481  df-nr 9482  df-c 9546
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator