Theorem axcclem 8293

Description: Lemma for axcc 8294. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcclem.1	|- A = ( x \ { (/) } )
axcclem.2	|- F = ( n e. om , y e. U. A |-> ( f ` n ) )
axcclem.3	|- G = ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axcclem	|- ( x ~~ om -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )

Distinct variable groups:   A, f, h, n, y   w, A, z, f, h   h, F, z   g, G, z   f, g, x, h

Allowed substitution hints:   A( x, g)   F( x, y, w, f, g, n)   G( x, y, w, f, h, n)

Proof of Theorem axcclem

Dummy variables c i k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite2 7324	. . . . . . . 8 |- ( A ~< om -> A e. Fin )
2		axcclem.1	. . . . . . . . . 10 |- A = ( x \ { (/) } )
3	2	eleq1i 2467	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Fin <-> ( x \ { (/) } ) e. Fin )
4		undif1 3663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x \ { (/) } ) u. { (/) } ) = ( x u. { (/) } )
5		snfi 7146	. . . . . . . . . . . 12 |- { (/) } e. Fin
6		unfi 7333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x \ { (/) } ) e. Fin /\ { (/) } e. Fin ) -> ( ( x \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
7	5, 6	mpan2 653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x \ { (/) } ) e. Fin -> ( ( x \ { (/) } ) u. { (/) } ) e. Fin )
8	4, 7	syl5eqelr 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x \ { (/) } ) e. Fin -> ( x u. { (/) } ) e. Fin )
9		ssun1 3470	. . . . . . . . . 10 |- x C_ ( x u. { (/) } )
10		ssfi 7288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x u. { (/) } ) e. Fin /\ x C_ ( x u. { (/) } ) ) -> x e. Fin )
11	8, 9, 10	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ( x \ { (/) } ) e. Fin -> x e. Fin )
12	3, 11	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( A e. Fin -> x e. Fin )
13		dcomex 8283	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
14		isfiniteg 7326	. . . . . . . . . 10 |- ( om e. _V -> ( x e. Fin <-> x ~< om ) )
15	13, 14	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( x e. Fin <-> x ~< om )
16		sdomnen 7095	. . . . . . . . 9 |- ( x ~< om -> -. x ~~ om )
17	15, 16	sylbi 188	. . . . . . . 8 |- ( x e. Fin -> -. x ~~ om )
18	1, 12, 17	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( A ~< om -> -. x ~~ om )
19	18	con2i 114	. . . . . 6 |- ( x ~~ om -> -. A ~< om )
20		sdomentr 7200	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< x /\ x ~~ om ) -> A ~< om )
21	20	expcom 425	. . . . . 6 |- ( x ~~ om -> ( A ~< x -> A ~< om ) )
22	19, 21	mtod 170	. . . . 5 |- ( x ~~ om -> -. A ~< x )
23		vex 2919	. . . . . 6 |- x e. _V
24		difss 3434	. . . . . . 7 |- ( x \ { (/) } ) C_ x
25	2, 24	eqsstri 3338	. . . . . 6 |- A C_ x
26		ssdomg 7112	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( A C_ x -> A ~<_ x ) )
27	23, 25, 26	mp2 9	. . . . 5 |- A ~<_ x
28	22, 27	jctil 524	. . . 4 |- ( x ~~ om -> ( A ~<_ x /\ -. A ~< x ) )
29		bren2 7097	. . . 4 |- ( A ~~ x <-> ( A ~<_ x /\ -. A ~< x ) )
30	28, 29	sylibr 204	. . 3 |- ( x ~~ om -> A ~~ x )
31		entr 7118	. . 3 |- ( ( A ~~ x /\ x ~~ om ) -> A ~~ om )
32	30, 31	mpancom 651	. 2 |- ( x ~~ om -> A ~~ om )
33		ensym 7115	. 2 |- ( A ~~ om -> om ~~ A )
34		bren 7076	. . 3 |- ( om ~~ A <-> E. f f : om -1-1-onto-> A )
35		f1of 5633	. . . . . . . 8 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om --> A )
36		peano1 4823	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
37		ffvelrn 5827	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om --> A /\ (/) e. om ) -> ( f ` (/) ) e. A )
38	35, 36, 37	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> ( f ` (/) ) e. A )
39		eldifn 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` (/) ) e. ( x \ { (/) } ) -> -. ( f ` (/) ) e. { (/) } )
40	39, 2	eleq2s 2496	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> -. ( f ` (/) ) e. { (/) } )
41		fvex 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( f ` (/) ) e. _V
42	41	elsnc 3797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` (/) ) e. { (/) } <-> ( f ` (/) ) = (/) )
43	42	notbii 288	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( f ` (/) ) e. { (/) } <-> -. ( f ` (/) ) = (/) )
44		neq0 3598	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( f ` (/) ) = (/) <-> E. c c e. ( f ` (/) ) )
45	43, 44	bitr2i 242	. . . . . . . 8 |- ( E. c c e. ( f ` (/) ) <-> -. ( f ` (/) ) e. { (/) } )
46	40, 45	sylibr 204	. . . . . . 7 |- ( ( f ` (/) ) e. A -> E. c c e. ( f ` (/) ) )
47	38, 46	syl 16	. . . . . 6 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> E. c c e. ( f ` (/) ) )
48		elunii 3980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( c e. ( f ` (/) ) /\ ( f ` (/) ) e. A ) -> c e. U. A )
49	38, 48	sylan2 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( f ` (/) ) /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> c e. U. A )
50	35	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ n e. om ) -> ( f ` n ) e. A )
51		difabs 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x \ { (/) } ) \ { (/) } ) = ( x \ { (/) } )
52	2	difeq1i 3421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A \ { (/) } ) = ( ( x \ { (/) } ) \ { (/) } )
53	51, 52, 2	3eqtr4i 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A \ { (/) } ) = A
54		pwuni 4355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- A C_ ~P U. A
55		ssdif 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A C_ ~P U. A -> ( A \ { (/) } ) C_ ( ~P U. A \ { (/) } ) )
56	54, 55	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A \ { (/) } ) C_ ( ~P U. A \ { (/) } )
57	53, 56	eqsstr3i 3339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- A C_ ( ~P U. A \ { (/) } )
58	57	sseli 3304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( f ` n ) e. ( ~P U. A \ { (/) } ) )
59	58	ralrimivw 2750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f ` n ) e. A -> A. y e. U. A ( f ` n ) e. ( ~P U. A \ { (/) } ) )
60	50, 59	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ n e. om ) -> A. y e. U. A ( f ` n ) e. ( ~P U. A \ { (/) } ) )
61	60	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> A. n e. om A. y e. U. A ( f ` n ) e. ( ~P U. A \ { (/) } ) )
62		axcclem.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. om , y e. U. A |-> ( f ` n ) )
63	62	fmpt2 6377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. om A. y e. U. A ( f ` n ) e. ( ~P U. A \ { (/) } ) <-> F : ( om X. U. A ) --> ( ~P U. A \ { (/) } ) )
64	61, 63	sylib 189	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> F : ( om X. U. A ) --> ( ~P U. A \ { (/) } ) )
65	64	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. ( f ` (/) ) /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> F : ( om X. U. A ) --> ( ~P U. A \ { (/) } ) )
66		difexg 4311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. _V -> ( x \ { (/) } ) e. _V )
67	23, 66	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x \ { (/) } ) e. _V
68	2, 67	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. _V
69	68	uniex 4664	. . . . . . . . . . 11 |- U. A e. _V
70	69	axdc4 8292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c e. U. A /\ F : ( om X. U. A ) --> ( ~P U. A \ { (/) } ) ) -> E. h ( h : om --> U. A /\ ( h ` (/) ) = c /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
71	49, 65, 70	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( c e. ( f ` (/) ) /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> E. h ( h : om --> U. A /\ ( h ` (/) ) = c /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
72		3simpb 955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h : om --> U. A /\ ( h ` (/) ) = c /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) -> ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
73	72	eximi 1582	. . . . . . . . 9 |- ( E. h ( h : om --> U. A /\ ( h ` (/) ) = c /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) -> E. h ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
74	71, 73	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( c e. ( f ` (/) ) /\ f : om -1-1-onto-> A ) -> E. h ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
75	74	ex 424	. . . . . . 7 |- ( c e. ( f ` (/) ) -> ( f : om -1-1-onto-> A -> E. h ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) )
76	75	exlimiv 1641	. . . . . 6 |- ( E. c c e. ( f ` (/) ) -> ( f : om -1-1-onto-> A -> E. h ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) )
77	47, 76	mpcom 34	. . . . 5 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> E. h ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) )
78		elsn 3789	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
79	78	necon3bbii 2598	. . . . . . . . . 10 |- ( -. z e. { (/) } <-> z =/= (/) )
80	2	eleq2i 2468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. A <-> z e. ( x \ { (/) } ) )
81		eldif 3290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( x \ { (/) } ) <-> ( z e. x /\ -. z e. { (/) } ) )
82	80, 81	bitri 241	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. A <-> ( z e. x /\ -. z e. { (/) } ) )
83	82	biimpri 198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. x /\ -. z e. { (/) } ) -> z e. A )
84	79, 83	sylan2br 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> z e. A )
85		simpl 444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ z e. A ) -> f : om -1-1-onto-> A )
86		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> f : om -onto-> A )
87		foelrn 5847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f : om -onto-> A /\ z e. A ) -> E. i e. om z = ( f ` i ) )
88	86, 87	sylan 458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ z e. A ) -> E. i e. om z = ( f ` i ) )
89		suceq 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = i -> suc k = suc i )
90	89	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = i -> ( h ` suc k ) = ( h ` suc i ) )
91		id 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = i -> k = i )
92		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = i -> ( h ` k ) = ( h ` i ) )
93	91, 92	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = i -> ( k F ( h ` k ) ) = ( i F ( h ` i ) ) )
94	90, 93	eleq12d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = i -> ( ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) <-> ( h ` suc i ) e. ( i F ( h ` i ) ) ) )
95	94	rspcv 3008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. om -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( h ` suc i ) e. ( i F ( h ` i ) ) ) )
96	95	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( h ` suc i ) e. ( i F ( h ` i ) ) ) )
97	96	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) -> ( h ` suc i ) e. ( i F ( h ` i ) ) )
98	97	3adant3 977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( h ` suc i ) e. ( i F ( h ` i ) ) )
99		eqcom 2406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = ( f ` i ) <-> ( f ` i ) = z )
100		f1ocnvfv 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( ( f ` i ) = z -> ( `' f ` z ) = i ) )
101	99, 100	syl5bi 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( z = ( f ` i ) -> ( `' f ` z ) = i ) )
102	101	3adant1 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( z = ( f ` i ) -> ( `' f ` z ) = i ) )
103	102	imp 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( `' f ` z ) = i )
104	103	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ z = ( f ` i ) ) -> i = ( `' f ` z ) )
105	104	3adant2 976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> i = ( `' f ` z ) )
106		suceq 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( i = ( `' f ` z ) -> suc i = suc ( `' f ` z ) )
107	105, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> suc i = suc ( `' f ` z ) )
108	107	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( h ` suc i ) = ( h ` suc ( `' f ` z ) ) )
109		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : om --> U. A /\ i e. om ) -> i e. om )
110		ffvelrn 5827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( h : om --> U. A /\ i e. om ) -> ( h ` i ) e. U. A )
111		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = i -> ( f ` n ) = ( f ` i ) )
112		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y = ( h ` i ) -> ( f ` i ) = ( f ` i ) )
113		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( f ` i ) e. _V
114	111, 112, 62, 113	ovmpt2 6168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. om /\ ( h ` i ) e. U. A ) -> ( i F ( h ` i ) ) = ( f ` i ) )
115	109, 110, 114	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : om --> U. A /\ i e. om ) -> ( i F ( h ` i ) ) = ( f ` i ) )
116	115	3adant2 976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( i F ( h ` i ) ) = ( f ` i ) )
117	116	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( i F ( h ` i ) ) = ( f ` i ) )
118	98, 108, 117	3eltr3d 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( h ` suc ( `' f ` z ) ) e. ( f ` i ) )
119	35	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( f ` i ) e. A )
120	119	3adant1 975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( f ` i ) e. A )
121	120	3ad2ant1 978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( f ` i ) e. A )
122		eleq1 2464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( f ` i ) -> ( z e. A <-> ( f ` i ) e. A ) )
123	122	3ad2ant3 980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( z e. A <-> ( f ` i ) e. A ) )
124	121, 123	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> z e. A )
125		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( w = z -> ( `' f ` w ) = ( `' f ` z ) )
126		suceq 4606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( `' f ` w ) = ( `' f ` z ) -> suc ( `' f ` w ) = suc ( `' f ` z ) )
127	125, 126	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = z -> suc ( `' f ` w ) = suc ( `' f ` z ) )
128	127	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = z -> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) = ( h ` suc ( `' f ` z ) ) )
129		axcclem.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- G = ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) )
130		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( h ` suc ( `' f ` z ) ) e. _V
131	128, 129, 130	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. A -> ( G ` z ) = ( h ` suc ( `' f ` z ) ) )
132	124, 131	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( G ` z ) = ( h ` suc ( `' f ` z ) ) )
133		simp3 959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> z = ( f ` i ) )
134	118, 132, 133	3eltr4d 2485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) /\ z = ( f ` i ) ) -> ( G ` z ) e. z )
135	134	3exp 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( z = ( f ` i ) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
136	135	com3r 75	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( f ` i ) -> ( ( h : om --> U. A /\ f : om -1-1-onto-> A /\ i e. om ) -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
137	136	3expd 1170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( f ` i ) -> ( h : om --> U. A -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( i e. om -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) ) ) )
138	137	com4r 82	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. om -> ( z = ( f ` i ) -> ( h : om --> U. A -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) ) ) )
139	138	rexlimiv 2784	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. i e. om z = ( f ` i ) -> ( h : om --> U. A -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) ) )
140	88, 139	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ z e. A ) -> ( h : om --> U. A -> ( f : om -1-1-onto-> A -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) ) )
141	85, 140	mpid 39	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ z e. A ) -> ( h : om --> U. A -> ( A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
142	141	imp3a 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ z e. A ) -> ( ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) -> ( G ` z ) e. z ) )
143	142	impancom 428	. . . . . . . . 9 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) -> ( z e. A -> ( G ` z ) e. z ) )
144	84, 143	syl5 30	. . . . . . . 8 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) -> ( ( z e. x /\ z =/= (/) ) -> ( G ` z ) e. z ) )
145	144	exp3a 426	. . . . . . 7 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) -> ( z e. x -> ( z =/= (/) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
146	145	ralrimiv 2748	. . . . . 6 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) -> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( G ` z ) e. z ) )
147		fvrn0 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( h ` suc ( `' f ` w ) ) e. ( ran h u. { (/) } )
148	147	rgenw 2733	. . . . . . . . . 10 |- A. w e. A ( h ` suc ( `' f ` w ) ) e. ( ran h u. { (/) } )
149		eqid 2404	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) = ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) )
150	149	fmpt 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( A. w e. A ( h ` suc ( `' f ` w ) ) e. ( ran h u. { (/) } ) <-> ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) : A --> ( ran h u. { (/) } ) )
151	148, 150	mpbi 200	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) : A --> ( ran h u. { (/) } )
152		vex 2919	. . . . . . . . . . 11 |- h e. _V
153	152	rnex 5092	. . . . . . . . . 10 |- ran h e. _V
154		p0ex 4346	. . . . . . . . . 10 |- { (/) } e. _V
155	153, 154	unex 4666	. . . . . . . . 9 |- ( ran h u. { (/) } ) e. _V
156		fex2 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) : A --> ( ran h u. { (/) } ) /\ A e. _V /\ ( ran h u. { (/) } ) e. _V ) -> ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) e. _V )
157	151, 68, 155, 156	mp3an 1279	. . . . . . . 8 |- ( w e. A |-> ( h ` suc ( `' f ` w ) ) ) e. _V
158	129, 157	eqeltri 2474	. . . . . . 7 |- G e. _V
159		fveq1 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( g ` z ) = ( G ` z ) )
160	159	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( g ` z ) e. z <-> ( G ` z ) e. z ) )
161	160	imbi2d 308	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) <-> ( z =/= (/) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
162	161	ralbidv 2686	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) <-> A. z e. x ( z =/= (/) -> ( G ` z ) e. z ) ) )
163	158, 162	spcev 3003	. . . . . 6 |- ( A. z e. x ( z =/= (/) -> ( G ` z ) e. z ) -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
164	146, 163	syl 16	. . . . 5 |- ( ( f : om -1-1-onto-> A /\ ( h : om --> U. A /\ A. k e. om ( h ` suc k ) e. ( k F ( h ` k ) ) ) ) -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
165	77, 164	exlimddv 1645	. . . 4 |- ( f : om -1-1-onto-> A -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
166	165	exlimiv 1641	. . 3 |- ( E. f f : om -1-1-onto-> A -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
167	34, 166	sylbi 188	. 2 |- ( om ~~ A -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )
168	32, 33, 167	3syl 19	1 |- ( x ~~ om -> E. g A. z e. x ( z =/= (/) -> ( g ` z ) e. z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804   X. cxp 4835   `'ccnv 4836   ran crn 4838   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   ~~ cen 7065   ~<_ cdom 7066   ~< csdm 7067   Fincfn 7068

This theorem is referenced by:  axcc  8294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-dc 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072