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Theorem axcclem 8894
Description: Lemma for axcc 8895. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcclem.1  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
axcclem.2  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
axcclem.3  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
Assertion
Ref Expression
axcclem  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Distinct variable groups:    A, f, h, n, y    w, A, z, f, h    h, F, z    g, G, z   
f, g, x, h
Allowed substitution hints:    A( x, g)    F( x, y, w, f, g, n)    G( x, y, w, f, h, n)

Proof of Theorem axcclem
Dummy variables  c 
i  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7838 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 axcclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
32eleq1i 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( x  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4 undif1 3872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( x  u.  { (/) } )
5 snfi 7660 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
6 unfi 7847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( x 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
75, 6mpan2 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( ( x  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  Fin )
84, 7syl5eqelr 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( x  u.  { (/) } )  e.  Fin )
9 ssun1 3629 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { (/) } )
10 ssfi 7801 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  u.  { (/)
} )  e.  Fin  /\  x  C_  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  x  e.  Fin )
118, 9, 10sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
123, 11sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
13 dcomex 8884 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
14 isfiniteg 7840 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  e.  _V  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  ~<  om ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
16 sdomnen 7608 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1715, 16sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Fin  ->  -.  x  ~~  om )
181, 12, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1918con2i 123 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  om )
20 sdomentr 7715 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~<  om )
2120expcom 436 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A 
~<  x  ->  A  ~<  om ) )
2219, 21mtod 180 . . . . 5  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  x )
23 vex 3083 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
24 difss 3592 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  { (/) } ) 
C_  x
252, 24eqsstri 3494 . . . . . 6  |-  A  C_  x
26 ssdomg 7625 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A  C_  x  ->  A  ~<_  x ) )
2723, 25, 26mp2 9 . . . . 5  |-  A  ~<_  x
2822, 27jctil 539 . . . 4  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
29 bren2 7610 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  <->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
3028, 29sylibr 215 . . 3  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  x )
31 entr 7631 . . 3  |-  ( ( A  ~~  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
3230, 31mpancom 673 . 2  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  om )
33 ensym 7628 . 2  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
34 bren 7589 . . 3  |-  ( om 
~~  A  <->  E. f 
f : om -1-1-onto-> A )
35 f1of 5831 . . . . . . . 8  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om
--> A )
36 peano1 6726 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
37 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
3835, 36, 37sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( f `  (/) )  e.  A
)
39 eldifn 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  (/) )  e.  ( x  \  { (/)
} )  ->  -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4039, 2eleq2s 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
41 fvex 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 (/) )  e.  _V
4241elsnc 4022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( f `  (/) )  =  (/) )
4342notbii 297 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  -.  (
f `  (/) )  =  (/) )
44 neq0 3772 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  =  (/) 
<->  E. c  c  e.  ( f `  (/) ) )
4543, 44bitr2i 253 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  <->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4640, 45sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
4738, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
48 elunii 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  (
f `  (/) )  e.  A )  ->  c  e.  U. A )
4938, 48sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  c  e.  U. A )
5035ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  (
f `  n )  e.  A )
51 difabs 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { (/) } )  \  { (/) } )  =  ( x 
\  { (/) } )
522difeq1i 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  ( ( x 
\  { (/) } ) 
\  { (/) } )
5351, 52, 23eqtr4i 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  A
54 pwuni 4652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ~P U. A
55 ssdif 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  ~P U. A  -> 
( A  \  { (/)
} )  C_  ( ~P U. A  \  { (/)
} ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } ) 
C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5753, 56eqsstr3i 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5857sseli 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  (
f `  n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
5958ralrimivw 2837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6050, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6160ralrimiva 2836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  A. n  e.  om  A. y  e. 
U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
62 axcclem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
6362fmpt2 6874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } )  <->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6461, 63sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6564adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  F : ( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
66 difexg 4572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { (/) } )  e.  _V )
6723, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
\  { (/) } )  e.  _V
682, 67eqeltri 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
6968uniex 6601 . . . . . . . . . . 11  |-  U. A  e.  _V
7069axdc4 8893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  U. A  /\  F : ( om 
X.  U. A ) --> ( ~P U. A  \  { (/) } ) )  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7149, 65, 70syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
72 3simpb 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) ) )
7372eximi 1701 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7471, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7574ex 435 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( f `  (/) )  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7675exlimiv 1770 . . . . . 6  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  -> 
( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7747, 76mpcom 37 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
78 elsn 4012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
7978necon3bbii 2681 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  { (/) }  <-> 
z  =/=  (/) )
802eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  ( x  \  { (/) } ) )
81 eldif 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( x  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8280, 81bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8382biimpri 209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } )  ->  z  e.  A )
8479, 83sylan2br 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  z  e.  A )
85 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  f : om -1-1-onto-> A )
86 f1ofo 5838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om -onto-> A )
87 foelrn 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  z  e.  A
)  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
8886, 87sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
89 suceq 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  suc  k  =  suc  i )
9089fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  suc  k )  =  ( h `  suc  i ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  k  =  i )
92 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  k )  =  ( h `  i ) )
9391, 92oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
k F ( h `
 k ) )  =  ( i F ( h `  i
) ) )
9490, 93eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  <-> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9594rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
96953ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9796imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
98973adant3 1025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
99 eqcom 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  ( f `  i )  <->  ( f `  i )  =  z )
100 f1ocnvfv 6192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
( f `  i
)  =  z  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
10199, 100syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
1021013adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
103102imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( `' f `  z )  =  i )
104103eqcomd 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
1051043adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
106 suceq 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( `' f `
 z )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
108107fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z
) ) )
109 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  i  e.  om )
110 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( h `  i )  e.  U. A )
111 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
112 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( h `  i )  ->  (
f `  i )  =  ( f `  i ) )
113 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f `
 i )  e. 
_V
114111, 112, 62, 113ovmpt2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  om  /\  ( h `  i
)  e.  U. A
)  ->  ( i F ( h `  i ) )  =  ( f `  i
) )
115109, 110, 114syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( i F ( h `  i
) )  =  ( f `  i ) )
1161153adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
i F ( h `
 i ) )  =  ( f `  i ) )
1171163ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( i F ( h `  i ) )  =  ( f `
 i ) )
11898, 108, 1173eltr3d 2521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  ( `' f `  z
) )  e.  ( f `  i ) )
11935ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1201193adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1211203ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( f `  i
)  e.  A )
122 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A
) )
1231223ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A ) )
124121, 123mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  e.  A )
125 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z ) )
126 suceq 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z )  ->  suc  ( `' f `  w )  =  suc  ( `' f `
 z ) )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  suc  ( `' f `  w
)  =  suc  ( `' f `  z
) )
128127fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
129 axcclem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
130 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
)  e.  _V
131128, 129, 130fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  ->  ( G `  z )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z ) ) )
132124, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
133 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  =  ( f `
 i ) )
134118, 132, 1333eltr4d 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  e.  z )
1351343exp 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( z  =  ( f `  i
)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
136135com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
1371363expd 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
138137com4r 89 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
139138rexlimiv 2908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i  e.  om  z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14088, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14185, 140mpid 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
142141impd 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
143142impancom 441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
14484, 143syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
145144expd 437 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
146145ralrimiv 2834 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
147 fvrn0 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
)  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
148147rgenw 2783 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  A  ( h `  suc  ( `' f `
 w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
149 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
150149fmpt 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  A  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )  <->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w ) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } ) )
151148, 150mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/)
} )
152 vex 3083 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
153152rnex 6741 . . . . . . . . . 10  |-  ran  h  e.  _V
154 p0ex 4611 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
155153, 154unex 6603 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V
156 fex2 6762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } )  /\  A  e.  _V  /\  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )  e. 
_V )
157151, 68, 155, 156mp3an 1360 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  e.  _V
158129, 157eqeltri 2503 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
159 fveq1 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  z )  =  ( G `  z ) )
160159eleq1d 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  z
)  e.  z  <->  ( G `  z )  e.  z ) )
161160imbi2d 317 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
162161ralbidv 2861 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
163158, 162spcev 3173 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
164146, 163syl 17 . . . . 5  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16577, 164exlimddv 1774 . . . 4  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
166165exlimiv 1770 . . 3  |-  ( E. f  f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( g `  z )  e.  z ) )
16734, 166sylbi 198 . 2  |-  ( om 
~~  A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16832, 33, 1673syl 18 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3981   {csn 3998   U.cuni 4219   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482    X. cxp 4851   `'ccnv 4852   ran crn 4854   suc csuc 5444   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   omcom 6706    ~~ cen 7577    ~<_ cdom 7578    ~< csdm 7579   Fincfn 7580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-dc 8883
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584
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