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Theorem axcclem 8874
Description: Lemma for axcc 8875. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcclem.1  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
axcclem.2  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
axcclem.3  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
Assertion
Ref Expression
axcclem  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Distinct variable groups:    A, f, h, n, y    w, A, z, f, h    h, F, z    g, G, z   
f, g, x, h
Allowed substitution hints:    A( x, g)    F( x, y, w, f, g, n)    G( x, y, w, f, h, n)

Proof of Theorem axcclem
Dummy variables  c 
i  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfinite2 7816 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~<  om  ->  A  e.  Fin )
2 axcclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( x  \  { (/)
} )
32eleq1i 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Fin  <->  ( x  \  { (/) } )  e. 
Fin )
4 undif1 3810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  u.  { (/) } )  =  ( x  u.  { (/) } )
5 snfi 7637 . . . . . . . . . . . 12  |-  { (/) }  e.  Fin
6 unfi 7825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  \  { (/)
} )  e.  Fin  /\ 
{ (/) }  e.  Fin )  ->  ( ( x 
\  { (/) } )  u.  { (/) } )  e.  Fin )
75, 6mpan2 682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( ( x  \  { (/)
} )  u.  { (/)
} )  e.  Fin )
84, 7syl5eqelr 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  ( x  u.  { (/) } )  e.  Fin )
9 ssun1 3565 . . . . . . . . . 10  |-  x  C_  ( x  u.  { (/) } )
10 ssfi 7779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  u.  { (/)
} )  e.  Fin  /\  x  C_  ( x  u.  { (/) } ) )  ->  x  e.  Fin )
118, 9, 10sylancl 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { (/) } )  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
123, 11sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Fin  ->  x  e.  Fin )
13 dcomex 8864 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
14 isfiniteg 7818 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  e.  _V  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  ~<  om ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  Fin  <->  x  ~<  om )
16 sdomnen 7585 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1715, 16sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Fin  ->  -.  x  ~~  om )
181, 12, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  om  ->  -.  x  ~~  om )
1918con2i 125 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  om )
20 sdomentr 7693 . . . . . . 7  |-  ( ( A  ~<  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~<  om )
2120expcom 441 . . . . . 6  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A 
~<  x  ->  A  ~<  om ) )
2219, 21mtod 182 . . . . 5  |-  ( x 
~~  om  ->  -.  A  ~<  x )
23 vex 3016 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
24 difss 3528 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  { (/) } ) 
C_  x
252, 24eqsstri 3430 . . . . . 6  |-  A  C_  x
26 ssdomg 7602 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( A  C_  x  ->  A  ~<_  x ) )
2723, 25, 26mp2 9 . . . . 5  |-  A  ~<_  x
2822, 27jctil 544 . . . 4  |-  ( x 
~~  om  ->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
29 bren2 7587 . . . 4  |-  ( A 
~~  x  <->  ( A  ~<_  x  /\  -.  A  ~<  x ) )
3028, 29sylibr 217 . . 3  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  x )
31 entr 7608 . . 3  |-  ( ( A  ~~  x  /\  x  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
3230, 31mpancom 680 . 2  |-  ( x 
~~  om  ->  A  ~~  om )
33 ensym 7605 . 2  |-  ( A 
~~  om  ->  om  ~~  A )
34 bren 7565 . . 3  |-  ( om 
~~  A  <->  E. f 
f : om -1-1-onto-> A )
35 f1of 5797 . . . . . . . 8  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om
--> A )
36 peano1 6700 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  om
37 ffvelrn 6004 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om --> A  /\  (/) 
e.  om )  ->  (
f `  (/) )  e.  A )
3835, 36, 37sylancl 673 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( f `  (/) )  e.  A
)
39 eldifn 3524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  (/) )  e.  ( x  \  { (/)
} )  ->  -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4039, 2eleq2s 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
41 fvex 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f `
 (/) )  e.  _V
4241elsnc 3960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  ( f `  (/) )  =  (/) )
4342notbii 302 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  e. 
{ (/) }  <->  -.  (
f `  (/) )  =  (/) )
44 neq0 3710 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( f `  (/) )  =  (/) 
<->  E. c  c  e.  ( f `  (/) ) )
4543, 44bitr2i 258 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  <->  -.  (
f `  (/) )  e. 
{ (/) } )
4640, 45sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  (/) )  e.  A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
4738, 46syl 17 . . . . . 6  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. c 
c  e.  ( f `
 (/) ) )
48 elunii 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  (
f `  (/) )  e.  A )  ->  c  e.  U. A )
4938, 48sylan2 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  c  e.  U. A )
5035ffvelrnda 6006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  (
f `  n )  e.  A )
51 difabs 3675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { (/) } )  \  { (/) } )  =  ( x 
\  { (/) } )
522difeq1i 3515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  ( ( x 
\  { (/) } ) 
\  { (/) } )
5351, 52, 23eqtr4i 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } )  =  A
54 pwuni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A  C_  ~P U. A
55 ssdif 3536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A 
C_  ~P U. A  -> 
( A  \  { (/)
} )  C_  ( ~P U. A  \  { (/)
} ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A 
\  { (/) } ) 
C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5753, 56eqsstr3i 3431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  C_  ( ~P U. A  \  { (/) } )
5857sseli 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  (
f `  n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
5958ralrimivw 2791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6050, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  n  e. 
om )  ->  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
6160ralrimiva 2790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  A. n  e.  om  A. y  e. 
U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } ) )
62 axcclem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( n  e.  om ,  y  e.  U. A  |->  ( f `  n
) )
6362fmpt2 6848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  om  A. y  e.  U. A ( f `
 n )  e.  ( ~P U. A  \  { (/) } )  <->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6461, 63sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  F :
( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
6564adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  F : ( om  X.  U. A ) --> ( ~P
U. A  \  { (/)
} ) )
66 difexg 4524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { (/) } )  e.  _V )
6723, 66ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
\  { (/) } )  e.  _V
682, 67eqeltri 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  e. 
_V
6968uniex 6575 . . . . . . . . . . 11  |-  U. A  e.  _V
7069axdc4 8873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  U. A  /\  F : ( om 
X.  U. A ) --> ( ~P U. A  \  { (/) } ) )  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7149, 65, 70syl2anc 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
72 3simpb 1007 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  ( h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) ) )
7372eximi 1711 . . . . . . . . 9  |-  ( E. h ( h : om --> U. A  /\  (
h `  (/) )  =  c  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7471, 73syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ( f `
 (/) )  /\  f : om -1-1-onto-> A )  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
7574ex 440 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( f `  (/) )  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7675exlimiv 1780 . . . . . 6  |-  ( E. c  c  e.  ( f `  (/) )  -> 
( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) ) )
7747, 76mpcom 37 . . . . 5  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. h
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )
78 elsn 3950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
7978necon3bbii 2671 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  z  e.  { (/) }  <-> 
z  =/=  (/) )
802eleq2i 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  <->  z  e.  ( x  \  { (/) } ) )
81 eldif 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( x  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8280, 81bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  A  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } ) )
8382biimpri 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  { (/) } )  ->  z  e.  A )
8479, 83sylan2br 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  ->  z  e.  A )
85 simpl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  f : om -1-1-onto-> A )
86 f1ofo 5804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  f : om -onto-> A )
87 foelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  z  e.  A
)  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
8886, 87sylan 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  E. i  e.  om  z  =  ( f `  i ) )
89 suceq 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  suc  k  =  suc  i )
9089fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  suc  k )  =  ( h `  suc  i ) )
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  k  =  i )
92 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( k  =  i  ->  (
h `  k )  =  ( h `  i ) )
9391, 92oveq12d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  i  ->  (
k F ( h `
 k ) )  =  ( i F ( h `  i
) ) )
9490, 93eleq12d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  i  ->  (
( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  <-> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9594rspcv 3114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
96953ad2ant3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) ) )
9796imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
98973adant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  e.  ( i F ( h `
 i ) ) )
99 eqcom 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  =  ( f `  i )  <->  ( f `  i )  =  z )
100 f1ocnvfv 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
( f `  i
)  =  z  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
10199, 100syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
1021013adant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( `' f `  z )  =  i ) )
103102imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( `' f `  z )  =  i )
104103eqcomd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
1051043adant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
i  =  ( `' f `  z ) )
106 suceq 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( `' f `
 z )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  ->  suc  i  =  suc  ( `' f `  z
) )
108107fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  i )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z
) ) )
109 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  i  e.  om )
110 ffvelrn 6004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( h `  i )  e.  U. A )
111 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  i  ->  (
f `  n )  =  ( f `  i ) )
112 eqidd 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( h `  i )  ->  (
f `  i )  =  ( f `  i ) )
113 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f `
 i )  e. 
_V
114111, 112, 62, 113ovmpt2 6420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( i  e.  om  /\  ( h `  i
)  e.  U. A
)  ->  ( i F ( h `  i ) )  =  ( f `  i
) )
115109, 110, 114syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  i  e.  om )  ->  ( i F ( h `  i
) )  =  ( f `  i ) )
1161153adant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
i F ( h `
 i ) )  =  ( f `  i ) )
1171163ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( i F ( h `  i ) )  =  ( f `
 i ) )
11898, 108, 1173eltr3d 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( h `  suc  ( `' f `  z
) )  e.  ( f `  i ) )
11935ffvelrnda 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1201193adant1 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  (
f `  i )  e.  A )
1211203ad2ant1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( f `  i
)  e.  A )
122 eleq1 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A
) )
1231223ad2ant3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( z  e.  A  <->  ( f `  i )  e.  A ) )
124121, 123mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  e.  A )
125 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  z  ->  ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z ) )
126 suceq 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( `' f `  w
)  =  ( `' f `  z )  ->  suc  ( `' f `  w )  =  suc  ( `' f `
 z ) )
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  z  ->  suc  ( `' f `  w
)  =  suc  ( `' f `  z
) )
128127fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  =  z  ->  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
129 axcclem.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  G  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
130 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
)  e.  _V
131128, 129, 130fvmpt 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  A  ->  ( G `  z )  =  ( h `  suc  ( `' f `  z ) ) )
132124, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  =  ( h `
 suc  ( `' f `  z )
) )
133 simp3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
z  =  ( f `
 i ) )
134118, 132, 1333eltr4d 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  /\  A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  /\  z  =  ( f `  i ) )  -> 
( G `  z
)  e.  z )
1351343exp 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( z  =  ( f `  i
)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
136135com3r 82 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  f : om -1-1-onto-> A  /\  i  e. 
om )  ->  ( A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
1371363expd 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( i  e.  om  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
138137com4r 89 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  om  ->  (
z  =  ( f `
 i )  -> 
( h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e.  om  (
h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `  k
) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) ) )
139138rexlimiv 2848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. i  e.  om  z  =  ( f `  i )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14088, 139syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) ) )
14185, 140mpid 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
h : om --> U. A  ->  ( A. k  e. 
om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
142141impd 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  z  e.  A )  ->  (
( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) )  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
143142impancom 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  A  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
14484, 143syl5 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
( z  e.  x  /\  z  =/=  (/) )  -> 
( G `  z
)  e.  z ) )
145144expd 442 . . . . . . 7  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  (
z  e.  x  -> 
( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
146145ralrimiv 2789 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) )
147 fvrn0 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
)  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
148147rgenw 2749 . . . . . . . . . 10  |-  A. w  e.  A  ( h `  suc  ( `' f `
 w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )
149 eqid 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  =  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )
150149fmpt 6027 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. w  e.  A  (
h `  suc  ( `' f `  w ) )  e.  ( ran  h  u.  { (/) } )  <->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w ) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } ) )
151148, 150mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/)
} )
152 vex 3016 . . . . . . . . . . 11  |-  h  e. 
_V
153152rnex 6715 . . . . . . . . . 10  |-  ran  h  e.  _V
154 p0ex 4563 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) }  e.  _V
155153, 154unex 6577 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V
156 fex2 6736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) ) : A --> ( ran  h  u.  { (/) } )  /\  A  e.  _V  /\  ( ran  h  u.  { (/) } )  e.  _V )  ->  ( w  e.  A  |->  ( h `  suc  ( `' f `  w
) ) )  e. 
_V )
157151, 68, 155, 156mp3an 1368 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  A  |->  ( h `
 suc  ( `' f `  w )
) )  e.  _V
158129, 157eqeltri 2526 . . . . . . 7  |-  G  e. 
_V
159 fveq1 5847 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  z )  =  ( G `  z ) )
160159eleq1d 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  z
)  e.  z  <->  ( G `  z )  e.  z ) )
161160imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
162161ralbidv 2810 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  ( A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z ) ) )
163158, 162spcev 3109 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  x  (
z  =/=  (/)  ->  ( G `  z )  e.  z )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
164146, 163syl 17 . . . . 5  |-  ( ( f : om -1-1-onto-> A  /\  ( h : om --> U. A  /\  A. k  e.  om  ( h `  suc  k )  e.  ( k F ( h `
 k ) ) ) )  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16577, 164exlimddv 1785 . . . 4  |-  ( f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
166165exlimiv 1780 . . 3  |-  ( E. f  f : om -1-1-onto-> A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  ( g `  z )  e.  z ) )
16734, 166sylbi 200 . 2  |-  ( om 
~~  A  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
16832, 33, 1673syl 18 1  |-  ( x 
~~  om  ->  E. g A. z  e.  x  ( z  =/=  (/)  ->  (
g `  z )  e.  z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1448   E.wex 1667    e. wcel 1891    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3013    \ cdif 3369    u. cun 3370    C_ wss 3372   (/)c0 3699   ~Pcpw 3919   {csn 3936   U.cuni 4168   class class class wbr 4374    |-> cmpt 4433    X. cxp 4810   `'ccnv 4811   ran crn 4813   suc csuc 5404   -->wf 5557   -onto->wfo 5559   -1-1-onto->wf1o 5560   ` cfv 5561  (class class class)co 6276    |-> cmpt2 6278   omcom 6680    ~~ cen 7553    ~<_ cdom 7554    ~< csdm 7555   Fincfn 7556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-dc 8863
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560
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