MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc4 Structured version   Unicode version

Theorem axcc4 8771
Description: A version of axcc3 8770 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1  |-  A  e. 
_V
axcc4.2  |-  N  ~~  om
axcc4.3  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21rabex 4544 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ph }  e.  _V
3 axcc4.2 . . 3  |-  N  ~~  om
42, 3axcc3 8770 . 2  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
5 rabn0 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  ph )
6 pm2.27 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
75, 6sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) )
107, 9syl6ib 226 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) ) )
1110ral2imi 2791 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( ( f `  n )  e.  A  /\  ps ) ) )
12 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ( f `
 n )  e.  A )
1312ralimi 2796 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
)
1411, 13syl6 31 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n
)  e.  A ) )
1514anim2d 563 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) ) )
16 ffnfv 5992 . . . . 5  |-  ( f : N --> A  <->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) )
1715, 16syl6ibr 227 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  f : N --> A ) )
18 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ps )
1918ralimi 2796 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ps )
2011, 19syl6 31 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2120adantld 465 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2217, 21jcad 531 . . 3  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322eximdv 1731 . 2  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
244, 23mpi 18 1  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   {crab 2757   _Vcvv 3058   (/)c0 3737   class class class wbr 4394    Fn wfn 5520   -->wf 5521   ` cfv 5525   omcom 6638    ~~ cen 7471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cc 8767
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-om 6639  df-2nd 6739  df-er 7268  df-en 7475
This theorem is referenced by:  axcc4dom  8773  supcvg  13726  1stcelcls  20146  iscmet3  21916  ovoliunlem3  22099  itg2seq  22333  nmounbseqi  25986  nmobndseqi  25988  minvecolem5  26091  heibor  31580
  Copyright terms: Public domain W3C validator