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Theorem axcc4 8865
Description: A version of axcc3 8864 that uses wffs instead of classes. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc4.1  |-  A  e. 
_V
axcc4.2  |-  N  ~~  om
axcc4.3  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
axcc4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Distinct variable groups:    A, f, n, x    f, N, n    ph, f    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    ps( f, n)    N( x)

Proof of Theorem axcc4
StepHypRef Expression
1 axcc4.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21rabex 4568 . . 3  |-  { x  e.  A  |  ph }  e.  _V
3 axcc4.2 . . 3  |-  N  ~~  om
42, 3axcc3 8864 . 2  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
5 rabn0 3779 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  A  ph )
6 pm2.27 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
75, 6sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )
8 axcc4.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( f `  n )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
98elrab 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph }  <->  ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) )
107, 9syl6ib 229 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ph  ->  ( ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  {
x  e.  A  |  ph } )  ->  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps ) ) )
1110ral2imi 2811 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( ( f `  n )  e.  A  /\  ps ) ) )
12 simpl 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ( f `
 n )  e.  A )
1312ralimi 2816 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
)
1411, 13syl6 34 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ( f `  n
)  e.  A ) )
1514anim2d 567 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) ) )
16 ffnfv 6056 . . . . 5  |-  ( f : N --> A  <->  ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( f `  n )  e.  A
) )
1715, 16syl6ibr 230 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  f : N --> A ) )
18 simpr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  ps )
1918ralimi 2816 . . . . . 6  |-  ( A. n  e.  N  (
( f `  n
)  e.  A  /\  ps )  ->  A. n  e.  N  ps )
2011, 19syl6 34 . . . . 5  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2120adantld 468 . . . 4  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  A. n  e.  N  ps ) )
2217, 21jcad 535 . . 3  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
2322eximdv 1754 . 2  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  ( E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( { x  e.  A  |  ph }  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  { x  e.  A  |  ph } ) )  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) ) )
244, 23mpi 21 1  |-  ( A. n  e.  N  E. x  e.  A  ph  ->  E. f ( f : N --> A  /\  A. n  e.  N  ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   {crab 2777   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   class class class wbr 4417    Fn wfn 5588   -->wf 5589   ` cfv 5593   omcom 6698    ~~ cen 7566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4530  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-inf2 8144  ax-cc 8861
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6699  df-2nd 6800  df-er 7363  df-en 7570
This theorem is referenced by:  axcc4dom  8867  supcvg  13892  1stcelcls  20453  iscmet3  22240  ovoliunlem3  22434  itg2seq  22677  nmounbseqi  26394  nmobndseqi  26396  minvecolem5  26499  minvecolem5OLD  26509  heibor  32061
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