MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc3 Structured version   Unicode version

Theorem axcc3 8850
Description: A possibly more useful version of ax-cc 8847 using sequences  F ( n ) instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc3.1  |-  F  e. 
_V
axcc3.2  |-  N  ~~  om
Assertion
Ref Expression
axcc3  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, N, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem axcc3
Dummy variables  g  h  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcc3.2 . . 3  |-  N  ~~  om
2 relen 7559 . . . 4  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4864 . . 3  |-  ( N 
~~  om  ->  N  e. 
_V )
4 mptexg 6123 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  (
n  e.  N  |->  F )  e.  _V )
51, 3, 4mp2b 10 . 2  |-  ( n  e.  N  |->  F )  e.  _V
6 bren 7563 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  <->  E. h  h : N -1-1-onto-> om )
71, 6mpbi 208 . . 3  |-  E. h  h : N -1-1-onto-> om
8 axcc2 8849 . . . . 5  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
9 f1of 5799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  h : N
--> om )
10 fnfco 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N --> om )  ->  ( g  o.  h
)  Fn  N )
119, 10sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
1211adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
13123adant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
14 nfmpt1 4484 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  N  |->  F )
1514nfeq2 2581 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  k  =  ( n  e.  N  |->  F )
16 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
17 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  h : N -1-1-onto-> om
1815, 16, 17nf3an 1958 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )
199ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( h `  n
)  e.  om )
20 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  m
)  =  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) ) )
2120neeq1d 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  <->  ( (
k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  =/=  (/) ) )
22 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
g `  m )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
2322, 20eleq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( g `  m
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  m )  <->  ( g `  ( h `
 n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) ) ) )
2421, 23imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  <->  ( (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2524rspcv 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  n )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
27263ad2antl3 1161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
28 f1ocnv 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om -1-1-onto-> N )
29 f1of 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( `' h : om -1-1-onto-> N  ->  `' h : om --> N )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om --> N )
31 fvco3 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' h : om --> N  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3230, 31sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3319, 32syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
34333adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) ) )
35 f1ocnvfv1 6163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( `' h `  ( h `  n
) )  =  n )
3635fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
37363adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
38 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( k `  n
)  =  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n ) )
39 axcc3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F  e. 
_V
40 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  N  |->  F )  =  ( n  e.  N  |->  F )
4140fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  N  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n )  =  F )
4239, 41mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  N  ->  (
( n  e.  N  |->  F ) `  n
)  =  F )
4338, 42sylan9eq 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  n  e.  N
)  ->  ( k `  n )  =  F )
44433adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  n )  =  F )
4534, 37, 443eqtrd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  F )
46453expa 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
47463adantl2 1154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
4847neeq1d 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  <->  F  =/=  (/) ) )
4993ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  h : N --> om )
50 fvco3 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h : N --> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( g  o.  h ) `  n
)  =  ( g `
 ( h `  n ) ) )
5149, 50sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
5251eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) )
5347eleq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5452, 53bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g `  (
h `  n )
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5548, 54imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5627, 55sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5756ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( n  e.  N  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) )
59583exp 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6059com34 83 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6160imp32 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) ) )  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
62613impia 1194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) )
6318, 62ralrimi 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
64 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
65 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  h  e. 
_V
6664, 65coex 6736 . . . . . . . . 9  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
67 fneq1 5650 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f  Fn  N  <->  ( g  o.  h )  Fn  N
) )
68 fveq1 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  n )  =  ( ( g  o.  h ) `  n ) )
6968eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  n
)  e.  F  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
7069imbi2d 314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7170ralbidv 2843 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7267, 71anbi12d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )  <->  ( (
g  o.  h )  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
7366, 72spcev 3151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o.  h
)  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
7413, 63, 73syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) )
75743exp 1196 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
7675exlimdv 1745 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. g ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
778, 76mpi 20 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) )
7877exlimdv 1745 . . 3  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. h  h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) ) )
797, 78mpi 20 . 2  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
805, 79vtocle 3133 1  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   _Vcvv 3059   (/)c0 3738   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   `'ccnv 4822    o. ccom 4827    Fn wfn 5564   -->wf 5565   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569   omcom 6683    ~~ cen 7551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-2nd 6785  df-er 7348  df-en 7555
This theorem is referenced by:  axcc4  8851  domtriomlem  8854
  Copyright terms: Public domain W3C validator