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Theorem axcc3 8814
Description: A possibly more useful version of ax-cc 8811 using sequences  F ( n ) instead of countable sets. The Axiom of Infinity is needed to prove this, and indeed this implies the Axiom of Infinity. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc3.1  |-  F  e. 
_V
axcc3.2  |-  N  ~~  om
Assertion
Ref Expression
axcc3  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Distinct variable groups:    f, F    f, N, n
Allowed substitution hint:    F( n)

Proof of Theorem axcc3
Dummy variables  g  h  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axcc3.2 . . 3  |-  N  ~~  om
2 relen 7524 . . . 4  |-  Rel  ~~
32brrelexi 4832 . . 3  |-  ( N 
~~  om  ->  N  e. 
_V )
4 mptexg 6089 . . 3  |-  ( N  e.  _V  ->  (
n  e.  N  |->  F )  e.  _V )
51, 3, 4mp2b 10 . 2  |-  ( n  e.  N  |->  F )  e.  _V
6 bren 7528 . . . 4  |-  ( N 
~~  om  <->  E. h  h : N -1-1-onto-> om )
71, 6mpbi 211 . . 3  |-  E. h  h : N -1-1-onto-> om
8 axcc2 8813 . . . . 5  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
9 f1of 5769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  h : N
--> om )
10 fnfco 5703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N --> om )  ->  ( g  o.  h
)  Fn  N )
119, 10sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
1211adantlr 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
13123adant1 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
g  o.  h )  Fn  N )
14 nfmpt1 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  N  |->  F )
1514nfeq2 2579 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  k  =  ( n  e.  N  |->  F )
16 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( g  Fn  om  /\ 
A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )
17 nfv 1755 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  h : N -1-1-onto-> om
1815, 16, 17nf3an 1990 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )
199ffvelrnda 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( h `  n
)  e.  om )
20 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  m
)  =  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) ) )
2120neeq1d 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  <->  ( (
k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  =/=  (/) ) )
22 fveq2 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
g `  m )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
2322, 20eleq12d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( g `  m
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  m )  <->  ( g `  ( h `
 n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) ) ) )
2421, 23imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( h `  n )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  <->  ( (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2524rspcv 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( h `  n )  e.  om  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
2619, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
27263ad2antl3 1169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  ->  (
g `  ( h `  n ) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) ) )
28 f1ocnv 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om -1-1-onto-> N )
29 f1of 5769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( `' h : om -1-1-onto-> N  ->  `' h : om --> N )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  `' h : om --> N )
31 fvco3 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( `' h : om --> N  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3230, 31sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  ( h `  n
)  e.  om )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
3319, 32syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  ( k `
 ( `' h `  ( h `  n
) ) ) )
34333adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) ) )
35 f1ocnvfv1 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( `' h `  ( h `  n
) )  =  n )
3635fveq2d 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
37363adant1 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  ( `' h `  ( h `
 n ) ) )  =  ( k `
 n ) )
38 fveq1 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( k `  n
)  =  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n ) )
39 axcc3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F  e. 
_V
40 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  N  |->  F )  =  ( n  e.  N  |->  F )
4140fvmpt2 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  N  /\  F  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  N  |->  F ) `  n )  =  F )
4239, 41mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  N  ->  (
( n  e.  N  |->  F ) `  n
)  =  F )
4338, 42sylan9eq 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  n  e.  N
)  ->  ( k `  n )  =  F )
44433adant2 1024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( k `  n )  =  F )
4534, 37, 443eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =  F )
46453expa 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
47463adantl2 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =  F )
4847neeq1d 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
)  =/=  (/)  <->  F  =/=  (/) ) )
4993ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  h : N --> om )
50 fvco3 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( h : N --> om  /\  n  e.  N )  ->  ( ( g  o.  h ) `  n
)  =  ( g `
 ( h `  n ) ) )
5149, 50sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  =  ( g `  ( h `  n
) ) )
5251eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) ) )
5347eleq2d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( g  o.  h ) `  n
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5452, 53bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( g `  (
h `  n )
)  e.  ( ( k  o.  `' h
) `  ( h `  n ) )  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
5548, 54imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  (
( ( ( k  o.  `' h ) `
 ( h `  n ) )  =/=  (/)  ->  ( g `  ( h `  n
) )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  (
h `  n )
) )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5627, 55sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn 
om  /\  h : N
-1-1-onto-> om )  /\  n  e.  N )  ->  ( A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h ) `
 m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
5756ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( n  e.  N  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
5857com23 81 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  g  Fn  om  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) )
59583exp 1204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6059com34 86 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( g  Fn  om  ->  ( A. m  e. 
om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) )  ->  (
h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) ) ) ) )
6160imp32 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) ) )  ->  ( h : N -1-1-onto-> om  ->  ( n  e.  N  ->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
62613impia 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  (
n  e.  N  -> 
( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) ) )
6318, 62ralrimi 2760 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
64 vex 3020 . . . . . . . . . 10  |-  g  e. 
_V
65 vex 3020 . . . . . . . . . 10  |-  h  e. 
_V
6664, 65coex 6698 . . . . . . . . 9  |-  ( g  o.  h )  e. 
_V
67 fneq1 5620 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f  Fn  N  <->  ( g  o.  h )  Fn  N
) )
68 fveq1 5819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
f `  n )  =  ( ( g  o.  h ) `  n ) )
6968eleq1d 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f `  n
)  e.  F  <->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) )
7069imbi2d 317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7170ralbidv 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  ( A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F )  <->  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) )
7267, 71anbi12d 715 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g  o.  h )  ->  (
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )  <->  ( (
g  o.  h )  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( (
g  o.  h ) `
 n )  e.  F ) ) ) )
7366, 72spcev 3111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  o.  h
)  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
( g  o.  h
) `  n )  e.  F ) )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
7413, 63, 73syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  /\  ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  /\  h : N -1-1-onto-> om )  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) )
75743exp 1204 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( ( g  Fn 
om  /\  A. m  e.  om  ( ( ( k  o.  `' h
) `  m )  =/=  (/)  ->  ( g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
7675exlimdv 1772 . . . . 5  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. g ( g  Fn  om  /\  A. m  e.  om  (
( ( k  o.  `' h ) `  m
)  =/=  (/)  ->  (
g `  m )  e.  ( ( k  o.  `' h ) `  m
) ) )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) ) )
778, 76mpi 20 . . . 4  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) ) )
7877exlimdv 1772 . . 3  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  -> 
( E. h  h : N -1-1-onto-> om  ->  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) ) ) )
797, 78mpi 20 . 2  |-  ( k  =  ( n  e.  N  |->  F )  ->  E. f ( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  ( f `  n )  e.  F
) ) )
805, 79vtocle 3093 1  |-  E. f
( f  Fn  N  /\  A. n  e.  N  ( F  =/=  (/)  ->  (
f `  n )  e.  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2594   A.wral 2709   _Vcvv 3017   (/)c0 3699   class class class wbr 4361    |-> cmpt 4420   `'ccnv 4790    o. ccom 4795    Fn wfn 5534   -->wf 5535   -1-1-onto->wf1o 5538   ` cfv 5539   omcom 6645    ~~ cen 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2403  ax-rep 4474  ax-sep 4484  ax-nul 4493  ax-pow 4540  ax-pr 4598  ax-un 6536  ax-inf2 8094  ax-cc 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2275  df-mo 2276  df-clab 2410  df-cleq 2416  df-clel 2419  df-nfc 2553  df-ne 2596  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rab 2718  df-v 3019  df-sbc 3238  df-csb 3334  df-dif 3377  df-un 3379  df-in 3381  df-ss 3388  df-pss 3390  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4158  df-iun 4239  df-br 4362  df-opab 4421  df-mpt 4422  df-tr 4457  df-eprel 4702  df-id 4706  df-po 4712  df-so 4713  df-fr 4750  df-we 4752  df-xp 4797  df-rel 4798  df-cnv 4799  df-co 4800  df-dm 4801  df-rn 4802  df-res 4803  df-ima 4804  df-ord 5383  df-on 5384  df-lim 5385  df-suc 5386  df-iota 5503  df-fun 5541  df-fn 5542  df-f 5543  df-f1 5544  df-fo 5545  df-f1o 5546  df-fv 5547  df-om 6646  df-2nd 6747  df-er 7313  df-en 7520
This theorem is referenced by:  axcc4  8815  domtriomlem  8818  ovnsubaddlem2  38240
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