Theorem axcc2lem 8884

Description: Lemma for axcc2 8885. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc2lem.1	|- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
axcc2lem.2	|- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
axcc2lem.3	|- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axcc2lem	|- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   f, F, g   g, G, n   n, K

Allowed substitution hints:   A( g)   F( n)   G( f)   K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem

Dummy variables a z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5889	. . . 4 |- ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V
2		axcc2lem.3	. . . 4 |- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
3	1, 2	fnmpti 5716	. . 3 |- G Fn om
4		snex 4641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n } e. _V
5		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K ` n ) e. _V
6	4, 5	xpex 6614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V
7		axcc2lem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
8	7	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
9	6, 8	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
10		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n e. _V
11	10	snnz 4081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { n } =/= (/)
12		0ex 4528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. _V
13	12	snnz 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { (/) } =/= (/)
14		iftrue 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = { (/) } )
15	14	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) <-> { (/) } =/= (/) ) )
16	13, 15	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
17		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
18		df-ne 2643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) =/= (/) <-> -. ( F ` n ) = (/) )
19	18	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) =/= (/) )
20	17, 19	eqnetrd 2710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
21	16, 20	pm2.61i 169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/)
22		p0ex 4588	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
23		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` n ) e. _V
24	22, 23	ifex 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V
25		axcc2lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
26	25	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. om /\ if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
27	24, 26	mpan2 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
28	27	neeq1d 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( ( K ` n ) =/= (/) <-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) ) )
29	21, 28	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( K ` n ) =/= (/) )
30		xpnz 5262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
31	30	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
32	11, 29, 31	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
33	9, 32	eqnetrd 2710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( A ` n ) =/= (/) )
34	6, 7	fnmpti 5716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A Fn om
35		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
36	34, 35	mpan 684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) e. ran A )
37		neeq1 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( z =/= (/) <-> ( A ` n ) =/= (/) ) )
38		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> ( f ` z ) = ( f ` ( A ` n ) ) )
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> z = ( A ` n ) )
40	38, 39	eleq12d 2543	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
41	37, 40	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
42	41	rspccv 3133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( A ` n ) e. ran A -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
43	36, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
44	33, 43	mpdi 42	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
45	44	impcom 437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) )
46	9	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
48	45, 47	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) )
49		xp2nd 6843	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
51	50	3adant3 1050	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
52	2	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
53	1, 52	mpan2 685	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
54	53	3ad2ant1 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
55	54	eqcomd 2477	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
56	27	3ad2ant1 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
57		ifnefalse 3884	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) =/= (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
58	57	3ad2ant3 1053	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
59	56, 58	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = ( F ` n ) )
60	51, 55, 59	3eltr3d 2563	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
61	60	3expia 1233	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
62	61	expcom 442	. . . 4 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
63	62	ralrimiv 2808	. . 3 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
64		omex 8166	. . . . 5 |- om e. _V
65		fnex 6148	. . . . 5 |- ( ( G Fn om /\ om e. _V ) -> G e. _V )
66	3, 64, 65	mp2an 686	. . . 4 |- G e. _V
67		fneq1 5674	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g Fn om <-> G Fn om ) )
68		fveq1 5878	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eleq1d 2533	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
70	69	imbi2d 323	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
71	70	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( g = G -> ( A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
72	67, 71	anbi12d 725	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) ) )
73	66, 72	spcev 3127	. . 3 |- ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
74	3, 63, 73	sylancr 676	. 2 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
75	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ n e. om ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
76	75, 7	fmptd 6061	. . . . 5 |- ( om e. _V -> A : om --> _V )
77	64, 76	ax-mp 5	. . . 4 |- A : om --> _V
78		sneq 3969	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> { n } = { k } )
79		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
80	78, 79	xpeq12d 4864	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
81	80, 7, 6	fvmpt3i 5968	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
82	81	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
83	82	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) <-> ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
84	9	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
85	84	eqeq1d 2473	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
86		xp11 5278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
87	11, 29, 86	sylancr 676	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
88	10	sneqr 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } = { k } -> n = k )
89	88	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) -> n = k )
90	87, 89	syl6bi 236	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
91	90	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
92	85, 91	sylbid 223	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
93	83, 92	sylbid 223	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
94	93	rgen2a 2820	. . . 4 |- A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k )
95		dff13 6177	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V <-> ( A : om --> _V /\ A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) ) )
96	77, 94, 95	mpbir2an 934	. . 3 |- A : om -1-1-> _V
97		f1f1orn 5839	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V -> A : om -1-1-onto-> ran A )
98	64	f1oen 7608	. . . 4 |- ( A : om -1-1-onto-> ran A -> om ~~ ran A )
99		ensym 7636	. . . 4 |- ( om ~~ ran A -> ran A ~~ om )
100	97, 98, 99	3syl 18	. . 3 |- ( A : om -1-1-> _V -> ran A ~~ om )
101	7	rneqi 5067	. . . . 5 |- ran A = ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
102		dmmptg 5339	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V -> dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om )
103	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
104	102, 103	mprg 2770	. . . . . . 7 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om
105	104, 64	eqeltri 2545	. . . . . 6 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
106		funmpt 5625	. . . . . 6 |- Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
107		funrnex 6779	. . . . . 6 |- ( dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V -> ( Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) -> ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V ) )
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . 5 |- ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
109	101, 108	eqeltri 2545	. . . 4 |- ran A e. _V
110		breq1 4398	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( a ~~ om <-> ran A ~~ om ) )
111		raleq 2973	. . . . . 6 |- ( a = ran A -> ( A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
112	111	exbidv 1776	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
113	110, 112	imbi12d 327	. . . 4 |- ( a = ran A -> ( ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
114		ax-cc 8883	. . . 4 |- ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
115	109, 113, 114	vtocl 3086	. . 3 |- ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
116	96, 100, 115	mp2b 10	. 2 |- E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
117	74, 116	exlimiiv 1785	1 |- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   omcom 6711   2ndc2nd 6811   ~~ cen 7584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588

This theorem is referenced by:  axcc2  8885