Theorem axcc2lem 8597

Description: Lemma for axcc2 8598. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc2lem.1	|- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
axcc2lem.2	|- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
axcc2lem.3	|- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axcc2lem	|- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   f, F, g   g, G, n   n, K

Allowed substitution hints:   A( g)   F( n)   G( f)   K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem

Dummy variables a z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 7841	. . . . 5 |- om e. _V
2		snex 4528	. . . . . . . 8 |- { n } e. _V
3		fvex 5696	. . . . . . . 8 |- ( K ` n ) e. _V
4	2, 3	xpex 6503	. . . . . . 7 |- ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ n e. om ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
6		axcc2lem.2	. . . . . 6 |- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
7	5, 6	fmptd 5862	. . . . 5 |- ( om e. _V -> A : om --> _V )
8	1, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- A : om --> _V
9		sneq 3882	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> { n } = { k } )
10		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
11	9, 10	xpeq12d 4860	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
12	11, 6, 4	fvmpt3i 5773	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
14	13	eqeq2d 2449	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) <-> ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
15	6	fvmpt2 5776	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
16	4, 15	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
17	16	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
18	17	eqeq1d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
19		vex 2970	. . . . . . . . . . 11 |- n e. _V
20	19	snnz 3988	. . . . . . . . . 10 |- { n } =/= (/)
21		0ex 4417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
22	21	snnz 3988	. . . . . . . . . . . . 13 |- { (/) } =/= (/)
23		iftrue 3792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = { (/) } )
24	23	neeq1d 2616	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) <-> { (/) } =/= (/) ) )
25	22, 24	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
26		iffalse 3794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
27		df-ne 2603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F ` n ) =/= (/) <-> -. ( F ` n ) = (/) )
28	27	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) =/= (/) )
29	26, 28	eqnetrd 2621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
30	25, 29	pm2.61i 164	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/)
31		p0ex 4474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { (/) } e. _V
32		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` n ) e. _V
33	31, 32	ifex 3853	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V
34		axcc2lem.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
35	34	fvmpt2 5776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. om /\ if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
36	33, 35	mpan2 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
37	36	neeq1d 2616	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( K ` n ) =/= (/) <-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) ) )
38	30, 37	mpbiri 233	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( K ` n ) =/= (/) )
39		xp11 5268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
40	20, 38, 39	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
41	19	sneqr 4035	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } = { k } -> n = k )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) -> n = k )
43	40, 42	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
45	18, 44	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
46	14, 45	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
47	46	rgen2a 2777	. . . 4 |- A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k )
48		dff13 5966	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V <-> ( A : om --> _V /\ A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) ) )
49	8, 47, 48	mpbir2an 911	. . 3 |- A : om -1-1-> _V
50		f1f1orn 5647	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V -> A : om -1-1-onto-> ran A )
51	1	f1oen 7322	. . . 4 |- ( A : om -1-1-onto-> ran A -> om ~~ ran A )
52		ensym 7350	. . . 4 |- ( om ~~ ran A -> ran A ~~ om )
53	50, 51, 52	3syl 20	. . 3 |- ( A : om -1-1-> _V -> ran A ~~ om )
54	6	rneqi 5061	. . . . 5 |- ran A = ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
55		dmmptg 5330	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V -> dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om )
56	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
57	55, 56	mprg 2780	. . . . . . 7 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om
58	57, 1	eqeltri 2508	. . . . . 6 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
59		funmpt 5449	. . . . . 6 |- Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
60		funrnex 6539	. . . . . 6 |- ( dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V -> ( Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) -> ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V ) )
61	58, 59, 60	mp2 9	. . . . 5 |- ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
62	54, 61	eqeltri 2508	. . . 4 |- ran A e. _V
63		breq1 4290	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( a ~~ om <-> ran A ~~ om ) )
64		raleq 2912	. . . . . 6 |- ( a = ran A -> ( A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
65	64	exbidv 1680	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
66	63, 65	imbi12d 320	. . . 4 |- ( a = ran A -> ( ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
67		ax-cc 8596	. . . 4 |- ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
68	62, 66, 67	vtocl 3019	. . 3 |- ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
69	49, 53, 68	mp2b 10	. 2 |- E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
70		fvex 5696	. . . . 5 |- ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V
71		axcc2lem.3	. . . . 5 |- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
72	70, 71	fnmpti 5534	. . . 4 |- G Fn om
73		xpnz 5252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
74	73	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
75	20, 38, 74	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
76	16, 75	eqnetrd 2621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) =/= (/) )
77	4, 6	fnmpti 5534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A Fn om
78		fnfvelrn 5835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
79	77, 78	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( A ` n ) e. ran A )
80		neeq1 2611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> ( z =/= (/) <-> ( A ` n ) =/= (/) ) )
81		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( A ` n ) -> ( f ` z ) = ( f ` ( A ` n ) ) )
82		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( A ` n ) -> z = ( A ` n ) )
83	81, 82	eleq12d 2506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
84	80, 83	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
85	84	rspccv 3065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( A ` n ) e. ran A -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
86	79, 85	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
87	76, 86	mpdi 42	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
88	87	impcom 430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) )
89	16	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
91	88, 90	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) )
92		xp2nd 6602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
94	93	3adant3 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
95	71	fvmpt2 5776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. om /\ ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
96	70, 95	mpan2 671	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. om -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
97	96	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
98	97	eqcomd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
99	36	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
100		ifnefalse 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` n ) =/= (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
101	100	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
102	99, 101	eqtrd 2470	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = ( F ` n ) )
103	94, 98, 102	3eltr3d 2518	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
104	103	3expia 1189	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
105	104	expcom 435	. . . . 5 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
106	105	ralrimiv 2793	. . . 4 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
107		fnex 5939	. . . . . 6 |- ( ( G Fn om /\ om e. _V ) -> G e. _V )
108	72, 1, 107	mp2an 672	. . . . 5 |- G e. _V
109		fneq1 5494	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( g Fn om <-> G Fn om ) )
110		fveq1 5685	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
111	110	eleq1d 2504	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
112	111	imbi2d 316	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
113	112	ralbidv 2730	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
114	109, 113	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) ) )
115	108, 114	spcev 3059	. . . 4 |- ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
116	72, 106, 115	sylancr 663	. . 3 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
117	116	exlimiv 1688	. 2 |- ( E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
118	69, 117	ax-mp 5	1 |- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2601   A.wral 2710   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   ifcif 3786   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   dom cdm 4835   ran crn 4836   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413   omcom 6471   2ndc2nd 6571   ~~ cen 7299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-om 6472  df-2nd 6573  df-er 7093  df-en 7303

This theorem is referenced by:  axcc2  8598