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Theorem axcc2lem 8863
Description: Lemma for axcc2 8864. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
axcc2lem.2  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
axcc2lem.3  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axcc2lem  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n    f, F, g    g, G, n    n, K
Allowed substitution hints:    A( g)    F( n)    G( f)    K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables  a 
z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5873 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) )  e.  _V
2 axcc2lem.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
31, 2fnmpti 5704 . . 3  |-  G  Fn  om
4 snex 4640 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n }  e.  _V
5 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K `
 n )  e. 
_V
64, 5xpex 6592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { n }  X.  ( K `  n )
)  e.  _V
7 axcc2lem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
87fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
96, 8mpan2 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
10 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  e. 
_V
1110snnz 4089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { n }  =/=  (/)
12 0ex 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  _V
1312snnz 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { (/) }  =/=  (/)
14 iftrue 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  { (/) } )
1514neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/)  <->  { (/) }  =/=  (/) ) )
1613, 15mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) )
17 iffalse 3889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
18 df-ne 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  <->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
1918biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
2017, 19eqnetrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/) )
2116, 20pm2.61i 168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/)
22 p0ex 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { (/) }  e.  _V
23 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
2422, 23ifex 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  e.  _V
25 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
2625fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  om  /\  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  e.  _V )  ->  ( K `  n
)  =  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) ) )
2724, 26mpan2 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
2827neeq1d 2682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  (
( K `  n
)  =/=  (/)  <->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) ) )
2921, 28mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =/=  (/) )
30 xpnz 5255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  <->  ( {
n }  X.  ( K `  n )
)  =/=  (/) )
3130biimpi 198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =/=  (/) )
3211, 29, 31sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =/=  (/) )
339, 32eqnetrd 2690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =/=  (/) )
346, 7fnmpti 5704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  Fn  om
35 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A `  n
)  e.  ran  A
)
3634, 35mpan 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  e.  ran  A )
37 neeq1 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
z  =/=  (/)  <->  ( A `  n )  =/=  (/) ) )
38 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( A `  n ) ) )
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  z  =  ( A `  n ) )
4038, 39eleq12d 2522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) )
4137, 40imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) ) )
4241rspccv 3146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( A `  n
)  e.  ran  A  ->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
4336, 42syl5 33 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( A `  n
)  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
4433, 43mpdi 43 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( A `  n ) ) )
4544impcom 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n ) )
469eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
4746adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
4845, 47mpbid 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
49 xp2nd 6821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
51503adant3 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
522fvmpt2 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  n
)  =  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) ) )
531, 52mpan2 676 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
54533ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
5554eqcomd 2456 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  =  ( G `  n ) )
56273ad2ant1 1028 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
57 ifnefalse 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
58573ad2ant3 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
5956, 58eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  ( F `  n ) )
6051, 55, 593eltr3d 2542 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) )
61603expia 1209 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
6261expcom 437 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
6362ralrimiv 2799 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
64 omex 8145 . . . . 5  |-  om  e.  _V
65 fnex 6130 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  om  /\  om  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
663, 64, 65mp2an 677 . . . 4  |-  G  e. 
_V
67 fneq1 5662 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
g  Fn  om  <->  G  Fn  om ) )
68 fveq1 5862 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
6968eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
7069imbi2d 318 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
7170ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
7267, 71anbi12d 716 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  <->  ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) ) )
7366, 72spcev 3140 . . 3  |-  ( ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  ->  E. g ( g  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
743, 63, 73sylancr 668 . 2  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  n  e.  om )  ->  ( { n }  X.  ( K `  n
) )  e.  _V )
7675, 7fmptd 6044 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  A : om --> _V )
7764, 76ax-mp 5 . . . 4  |-  A : om
--> _V
78 sneq 3977 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  { n }  =  { k } )
79 fveq2 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
8078, 79xpeq12d 4858 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
8180, 7, 6fvmpt3i 5951 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  ( A `  k )  =  ( { k }  X.  ( K `
 k ) ) )
8281adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  k
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
8382eqeq2d 2460 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  <-> 
( A `  n
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) ) )
849adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
8584eqeq1d 2452 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) ) ) )
86 xp11 5271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( {
n }  =  {
k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
8711, 29, 86sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
8810sneqr 4138 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n }  =  {
k }  ->  n  =  k )
8988adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
9087, 89syl6bi 232 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
9190adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
)
9285, 91sylbid 219 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
9383, 92sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  ->  n  =  k ) )
9493rgen2a 2814 . . . 4  |-  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k )
95 dff13 6157 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  <->  ( A : om --> _V  /\  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k ) ) )
9677, 94, 95mpbir2an 930 . . 3  |-  A : om
-1-1-> _V
97 f1f1orn 5823 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  A : om -1-1-onto-> ran  A )
9864f1oen 7587 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-onto-> ran  A  ->  om  ~~  ran  A )
99 ensym 7615 . . . 4  |-  ( om 
~~  ran  A  ->  ran 
A  ~~  om )
10097, 98, 993syl 18 . . 3  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  ran 
A  ~~  om )
1017rneqi 5060 . . . . 5  |-  ran  A  =  ran  ( n  e. 
om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
102 dmmptg 5331 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V  ->  dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om )
1036a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )
104102, 103mprg 2750 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om
105104, 64eqeltri 2524 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
106 funmpt 5617 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
107 funrnex 6757 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V  ->  ( Fun  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )  ->  ran  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V ) )
108105, 106, 107mp2 9 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
109101, 108eqeltri 2524 . . . 4  |-  ran  A  e.  _V
110 breq1 4404 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( a  ~~  om  <->  ran 
A  ~~  om )
)
111 raleq 2986 . . . . . 6  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
112111exbidv 1767 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( E. f A. z  e.  a  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
113110, 112imbi12d 322 . . . 4  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( ( a  ~~  om 
->  E. f A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( ran  A 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
114 ax-cc 8862 . . . 4  |-  ( a 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  a 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
115109, 113, 114vtocl 3099 . . 3  |-  ( ran 
A  ~~  om  ->  E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
11696, 100, 115mp2b 10 . 2  |-  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
11774, 116exlimiiv 1776 1  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443   E.wex 1662    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   ifcif 3880   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   dom cdm 4833   ran crn 4834   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   omcom 6689   2ndc2nd 6789    ~~ cen 7563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-2nd 6791  df-er 7360  df-en 7567
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