MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcc2lem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axcc2lem 8884
Description: Lemma for axcc2 8885. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
axcc2lem.2  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
axcc2lem.3  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axcc2lem  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n    f, F, g    g, G, n    n, K
Allowed substitution hints:    A( g)    F( n)    G( f)    K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables  a 
z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5889 . . . 4  |-  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) )  e.  _V
2 axcc2lem.3 . . . 4  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
31, 2fnmpti 5716 . . 3  |-  G  Fn  om
4 snex 4641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { n }  e.  _V
5 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K `
 n )  e. 
_V
64, 5xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { n }  X.  ( K `  n )
)  e.  _V
7 axcc2lem.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
87fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
96, 8mpan2 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
10 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  n  e. 
_V
1110snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { n }  =/=  (/)
12 0ex 4528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (/)  e.  _V
1312snnz 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { (/) }  =/=  (/)
14 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  { (/) } )
1514neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/)  <->  { (/) }  =/=  (/) ) )
1613, 15mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) )
17 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
18 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  <->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
1918biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
2017, 19eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/) )
2116, 20pm2.61i 169 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/)
22 p0ex 4588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { (/) }  e.  _V
23 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
2422, 23ifex 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  e.  _V
25 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
2625fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  om  /\  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  e.  _V )  ->  ( K `  n
)  =  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) ) )
2724, 26mpan2 685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
2827neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  om  ->  (
( K `  n
)  =/=  (/)  <->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) ) )
2921, 28mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =/=  (/) )
30 xpnz 5262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  <->  ( {
n }  X.  ( K `  n )
)  =/=  (/) )
3130biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =/=  (/) )
3211, 29, 31sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =/=  (/) )
339, 32eqnetrd 2710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =/=  (/) )
346, 7fnmpti 5716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  Fn  om
35 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A `  n
)  e.  ran  A
)
3634, 35mpan 684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  e.  ran  A )
37 neeq1 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
z  =/=  (/)  <->  ( A `  n )  =/=  (/) ) )
38 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( A `  n ) ) )
39 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  z  =  ( A `  n ) )
4038, 39eleq12d 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) )
4137, 40imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) ) )
4241rspccv 3133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( A `  n
)  e.  ran  A  ->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
4336, 42syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( A `  n
)  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
4433, 43mpdi 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( A `  n ) ) )
4544impcom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n ) )
469eleq2d 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
4845, 47mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
49 xp2nd 6843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
51503adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
522fvmpt2 5972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  n
)  =  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) ) )
531, 52mpan2 685 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
54533ad2ant1 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
5554eqcomd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  =  ( G `  n ) )
56273ad2ant1 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
57 ifnefalse 3884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
58573ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
5956, 58eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  ( F `  n ) )
6051, 55, 593eltr3d 2563 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) )
61603expia 1233 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
6261expcom 442 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
6362ralrimiv 2808 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
64 omex 8166 . . . . 5  |-  om  e.  _V
65 fnex 6148 . . . . 5  |-  ( ( G  Fn  om  /\  om  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
663, 64, 65mp2an 686 . . . 4  |-  G  e. 
_V
67 fneq1 5674 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
g  Fn  om  <->  G  Fn  om ) )
68 fveq1 5878 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
6968eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
7069imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
7170ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
7267, 71anbi12d 725 . . . 4  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  <->  ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) ) )
7366, 72spcev 3127 . . 3  |-  ( ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  ->  E. g ( g  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
743, 63, 73sylancr 676 . 2  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
756a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  n  e.  om )  ->  ( { n }  X.  ( K `  n
) )  e.  _V )
7675, 7fmptd 6061 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  A : om --> _V )
7764, 76ax-mp 5 . . . 4  |-  A : om
--> _V
78 sneq 3969 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  { n }  =  { k } )
79 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
8078, 79xpeq12d 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
8180, 7, 6fvmpt3i 5968 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  ( A `  k )  =  ( { k }  X.  ( K `
 k ) ) )
8281adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  k
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
8382eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  <-> 
( A `  n
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) ) )
849adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
8584eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) ) ) )
86 xp11 5278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( {
n }  =  {
k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
8711, 29, 86sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
8810sneqr 4131 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n }  =  {
k }  ->  n  =  k )
8988adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
9087, 89syl6bi 236 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
9190adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
)
9285, 91sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
9383, 92sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  ->  n  =  k ) )
9493rgen2a 2820 . . . 4  |-  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k )
95 dff13 6177 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  <->  ( A : om --> _V  /\  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k ) ) )
9677, 94, 95mpbir2an 934 . . 3  |-  A : om
-1-1-> _V
97 f1f1orn 5839 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  A : om -1-1-onto-> ran  A )
9864f1oen 7608 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-onto-> ran  A  ->  om  ~~  ran  A )
99 ensym 7636 . . . 4  |-  ( om 
~~  ran  A  ->  ran 
A  ~~  om )
10097, 98, 993syl 18 . . 3  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  ran 
A  ~~  om )
1017rneqi 5067 . . . . 5  |-  ran  A  =  ran  ( n  e. 
om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
102 dmmptg 5339 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V  ->  dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om )
1036a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )
104102, 103mprg 2770 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om
105104, 64eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
106 funmpt 5625 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
107 funrnex 6779 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V  ->  ( Fun  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )  ->  ran  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V ) )
108105, 106, 107mp2 9 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
109101, 108eqeltri 2545 . . . 4  |-  ran  A  e.  _V
110 breq1 4398 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( a  ~~  om  <->  ran 
A  ~~  om )
)
111 raleq 2973 . . . . . 6  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
112111exbidv 1776 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( E. f A. z  e.  a  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
113110, 112imbi12d 327 . . . 4  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( ( a  ~~  om 
->  E. f A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( ran  A 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
114 ax-cc 8883 . . . 4  |-  ( a 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  a 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
115109, 113, 114vtocl 3086 . . 3  |-  ( ran 
A  ~~  om  ->  E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
11696, 100, 115mp2b 10 . 2  |-  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
11774, 116exlimiiv 1785 1  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   omcom 6711   2ndc2nd 6811    ~~ cen 7584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-2nd 6813  df-er 7381  df-en 7588
This theorem is referenced by:  axcc2  8885
  Copyright terms: Public domain W3C validator