Theorem axcc2lem 8863

Description: Lemma for axcc2 8864. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcc2lem.1	|- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
axcc2lem.2	|- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
axcc2lem.3	|- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
axcc2lem	|- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   f, F, g   g, G, n   n, K

Allowed substitution hints:   A( g)   F( n)   G( f)   K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem

Dummy variables a z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5873	. . . 4 |- ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V
2		axcc2lem.3	. . . 4 |- G = ( n e. om |-> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
3	1, 2	fnmpti 5704	. . 3 |- G Fn om
4		snex 4640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n } e. _V
5		fvex 5873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K ` n ) e. _V
6	4, 5	xpex 6592	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V
7		axcc2lem.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
8	7	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
9	6, 8	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
10		vex 3047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- n e. _V
11	10	snnz 4089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { n } =/= (/)
12		0ex 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (/) e. _V
13	12	snnz 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- { (/) } =/= (/)
14		iftrue 3886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = { (/) } )
15	14	neeq1d 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) = (/) -> ( if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) <-> { (/) } =/= (/) ) )
16	13, 15	mpbiri 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
17		iffalse 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
18		df-ne 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` n ) =/= (/) <-> -. ( F ` n ) = (/) )
19	18	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> ( F ` n ) =/= (/) )
20	17, 19	eqnetrd 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` n ) = (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) )
21	16, 20	pm2.61i 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/)
22		p0ex 4589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { (/) } e. _V
23		fvex 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F ` n ) e. _V
24	22, 23	ifex 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V
25		axcc2lem.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K = ( n e. om |-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
26	25	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. om /\ if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) e. _V ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
27	24, 26	mpan2 676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. om -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
28	27	neeq1d 2682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. om -> ( ( K ` n ) =/= (/) <-> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) =/= (/) ) )
29	21, 28	mpbiri 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. om -> ( K ` n ) =/= (/) )
30		xpnz 5255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
31	30	biimpi 198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
32	11, 29, 31	sylancr 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) =/= (/) )
33	9, 32	eqnetrd 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. om -> ( A ` n ) =/= (/) )
34	6, 7	fnmpti 5704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A Fn om
35		fnfvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A Fn om /\ n e. om ) -> ( A ` n ) e. ran A )
36	34, 35	mpan 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. om -> ( A ` n ) e. ran A )
37		neeq1 2685	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( z =/= (/) <-> ( A ` n ) =/= (/) ) )
38		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> ( f ` z ) = ( f ` ( A ` n ) ) )
39		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( A ` n ) -> z = ( A ` n ) )
40	38, 39	eleq12d 2522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( f ` z ) e. z <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
41	37, 40	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( A ` n ) -> ( ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
42	41	rspccv 3146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( ( A ` n ) e. ran A -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
43	36, 42	syl5 33	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( A ` n ) =/= (/) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) ) )
44	33, 43	mpdi 43	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) ) )
45	44	impcom 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) )
46	9	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. om -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( A ` n ) <-> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) ) )
48	45, 47	mpbid 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) )
49		xp2nd 6821	. . . . . . . . 9 |- ( ( f ` ( A ` n ) ) e. ( { n } X. ( K ` n ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
51	50	3adant3 1027	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. ( K ` n ) )
52	2	fvmpt2 5955	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. om /\ ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) e. _V ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
53	1, 52	mpan2 676	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
54	53	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) = ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) )
55	54	eqcomd 2456	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( 2nd ` ( f ` ( A ` n ) ) ) = ( G ` n ) )
56	27	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) )
57		ifnefalse 3892	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) =/= (/) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
58	57	3ad2ant3 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> if ( ( F ` n ) = (/) , { (/) } , ( F ` n ) ) = ( F ` n ) )
59	56, 58	eqtrd 2484	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( K ` n ) = ( F ` n ) )
60	51, 55, 59	3eltr3d 2542	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) /\ ( F ` n ) =/= (/) ) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) )
61	60	3expia 1209	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
62	61	expcom 437	. . . 4 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> ( n e. om -> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
63	62	ralrimiv 2799	. . 3 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
64		omex 8145	. . . . 5 |- om e. _V
65		fnex 6130	. . . . 5 |- ( ( G Fn om /\ om e. _V ) -> G e. _V )
66	3, 64, 65	mp2an 677	. . . 4 |- G e. _V
67		fneq1 5662	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g Fn om <-> G Fn om ) )
68		fveq1 5862	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( g ` n ) = ( G ` n ) )
69	68	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( g ` n ) e. ( F ` n ) <-> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) )
70	69	imbi2d 318	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
71	70	ralbidv 2826	. . . . 5 |- ( g = G -> ( A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) <-> A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
72	67, 71	anbi12d 716	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) <-> ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) ) )
73	66, 72	spcev 3140	. . 3 |- ( ( G Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( G ` n ) e. ( F ` n ) ) ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
74	3, 63, 73	sylancr 668	. 2 |- ( A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) -> E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) ) )
75	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( om e. _V /\ n e. om ) -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
76	75, 7	fmptd 6044	. . . . 5 |- ( om e. _V -> A : om --> _V )
77	64, 76	ax-mp 5	. . . 4 |- A : om --> _V
78		sneq 3977	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> { n } = { k } )
79		fveq2 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( K ` n ) = ( K ` k ) )
80	78, 79	xpeq12d 4858	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
81	80, 7, 6	fvmpt3i 5951	. . . . . . . 8 |- ( k e. om -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
82	81	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` k ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) )
83	82	eqeq2d 2460	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) <-> ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
84	9	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( A ` n ) = ( { n } X. ( K ` n ) ) )
85	84	eqeq1d 2452	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) ) )
86		xp11 5271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { n } =/= (/) /\ ( K ` n ) =/= (/) ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
87	11, 29, 86	sylancr 668	. . . . . . . . 9 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) <-> ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) ) )
88	10	sneqr 4138	. . . . . . . . . 10 |- ( { n } = { k } -> n = k )
89	88	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( { n } = { k } /\ ( K ` n ) = ( K ` k ) ) -> n = k )
90	87, 89	syl6bi 232	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
91	90	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( { n } X. ( K ` n ) ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
92	85, 91	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( { k } X. ( K ` k ) ) -> n = k ) )
93	83, 92	sylbid 219	. . . . 5 |- ( ( n e. om /\ k e. om ) -> ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) )
94	93	rgen2a 2814	. . . 4 |- A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k )
95		dff13 6157	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V <-> ( A : om --> _V /\ A. n e. om A. k e. om ( ( A ` n ) = ( A ` k ) -> n = k ) ) )
96	77, 94, 95	mpbir2an 930	. . 3 |- A : om -1-1-> _V
97		f1f1orn 5823	. . . 4 |- ( A : om -1-1-> _V -> A : om -1-1-onto-> ran A )
98	64	f1oen 7587	. . . 4 |- ( A : om -1-1-onto-> ran A -> om ~~ ran A )
99		ensym 7615	. . . 4 |- ( om ~~ ran A -> ran A ~~ om )
100	97, 98, 99	3syl 18	. . 3 |- ( A : om -1-1-> _V -> ran A ~~ om )
101	7	rneqi 5060	. . . . 5 |- ran A = ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
102		dmmptg 5331	. . . . . . . 8 |- ( A. n e. om ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V -> dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om )
103	6	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( n e. om -> ( { n } X. ( K ` n ) ) e. _V )
104	102, 103	mprg 2750	. . . . . . 7 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) = om
105	104, 64	eqeltri 2524	. . . . . 6 |- dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
106		funmpt 5617	. . . . . 6 |- Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) )
107		funrnex 6757	. . . . . 6 |- ( dom ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V -> ( Fun ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) -> ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V ) )
108	105, 106, 107	mp2 9	. . . . 5 |- ran ( n e. om |-> ( { n } X. ( K ` n ) ) ) e. _V
109	101, 108	eqeltri 2524	. . . 4 |- ran A e. _V
110		breq1 4404	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( a ~~ om <-> ran A ~~ om ) )
111		raleq 2986	. . . . . 6 |- ( a = ran A -> ( A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
112	111	exbidv 1767	. . . . 5 |- ( a = ran A -> ( E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) <-> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) )
113	110, 112	imbi12d 322	. . . 4 |- ( a = ran A -> ( ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) <-> ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) ) ) )
114		ax-cc 8862	. . . 4 |- ( a ~~ om -> E. f A. z e. a ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
115	109, 113, 114	vtocl 3099	. . 3 |- ( ran A ~~ om -> E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z ) )
116	96, 100, 115	mp2b 10	. 2 |- E. f A. z e. ran A ( z =/= (/) -> ( f ` z ) e. z )
117	74, 116	exlimiiv 1776	1 |- E. g ( g Fn om /\ A. n e. om ( ( F ` n ) =/= (/) -> ( g ` n ) e. ( F ` n ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   E.wex 1662   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   _Vcvv 3044   (/)c0 3730   ifcif 3880   {csn 3967   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   X. cxp 4831   dom cdm 4833   ran crn 4834   Fun wfun 5575   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581   omcom 6689   2ndc2nd 6789   ~~ cen 7563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-2nd 6791  df-er 7360  df-en 7567

This theorem is referenced by:  axcc2  8864