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Theorem axcc2lem 8855
Description: Lemma for axcc2 8856. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcc2lem.1  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
axcc2lem.2  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
axcc2lem.3  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
axcc2lem  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Distinct variable groups:    A, f, n    f, F, g    g, G, n    n, K
Allowed substitution hints:    A( g)    F( n)    G( f)    K( f, g)

Proof of Theorem axcc2lem
Dummy variables  a 
z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8139 . . . . 5  |-  om  e.  _V
2 snex 4654 . . . . . . . 8  |-  { n }  e.  _V
3 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( K `
 n )  e. 
_V
42, 3xpex 6600 . . . . . . 7  |-  ( { n }  X.  ( K `  n )
)  e.  _V
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  _V  /\  n  e.  om )  ->  ( { n }  X.  ( K `  n
) )  e.  _V )
6 axcc2lem.2 . . . . . 6  |-  A  =  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
75, 6fmptd 6052 . . . . 5  |-  ( om  e.  _V  ->  A : om --> _V )
81, 7ax-mp 5 . . . 4  |-  A : om
--> _V
9 sneq 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  { n }  =  { k } )
10 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )
119, 10xpeq12d 4870 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1211, 6, 4fvmpt3i 5960 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  om  ->  ( A `  k )  =  ( { k }  X.  ( K `
 k ) ) )
1312adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  k
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) )
1413eqeq2d 2434 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  <-> 
( A `  n
)  =  ( { k }  X.  ( K `  k )
) ) )
156fvmpt2 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
164, 15mpan2 675 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
1716adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( A `  n
)  =  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
1817eqeq1d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) ) ) )
19 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  n  e. 
_V
2019snnz 4112 . . . . . . . . . 10  |-  { n }  =/=  (/)
21 0ex 4548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (/)  e.  _V
2221snnz 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { (/) }  =/=  (/)
23 iftrue 3912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  { (/) } )
2423neeq1d 2699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  ( if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/)  <->  { (/) }  =/=  (/) ) )
2522, 24mpbiri 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  n )  =  (/)  ->  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) )
26 iffalse 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
27 df-ne 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  <->  -.  ( F `  n )  =  (/) )
2827biimpri 209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  ( F `  n )  =/=  (/) )
2926, 28eqnetrd 2715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( F `  n
)  =  (/)  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =/=  (/) )
3025, 29pm2.61i 167 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/)
31 p0ex 4603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { (/) }  e.  _V
32 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 n )  e. 
_V
3331, 32ifex 3974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  e.  _V
34 axcc2lem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( n  e.  om  |->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) ) )
3534fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  om  /\  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  e.  _V )  ->  ( K `  n
)  =  if ( ( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) ) )
3633, 35mpan2 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
3736neeq1d 2699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  om  ->  (
( K `  n
)  =/=  (/)  <->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =/=  (/) ) )
3830, 37mpbiri 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( K `  n )  =/=  (/) )
39 xp11 5283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( {
n }  =  {
k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4020, 38, 39sylancr 667 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  <->  ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) ) ) )
4119sneqr 4161 . . . . . . . . . 10  |-  ( { n }  =  {
k }  ->  n  =  k )
4241adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { n }  =  { k }  /\  ( K `  n )  =  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
4340, 42syl6bi 231 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  (
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4443adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k )
)
4518, 44sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( { k }  X.  ( K `  k ) )  ->  n  =  k ) )
4614, 45sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  om  /\  k  e.  om )  ->  ( ( A `  n )  =  ( A `  k )  ->  n  =  k ) )
4746rgen2a 2850 . . . 4  |-  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k )
48 dff13 6165 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  <->  ( A : om --> _V  /\  A. n  e.  om  A. k  e. 
om  ( ( A `
 n )  =  ( A `  k
)  ->  n  =  k ) ) )
498, 47, 48mpbir2an 928 . . 3  |-  A : om
-1-1-> _V
50 f1f1orn 5833 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  A : om -1-1-onto-> ran  A )
511f1oen 7588 . . . 4  |-  ( A : om -1-1-onto-> ran  A  ->  om  ~~  ran  A )
52 ensym 7616 . . . 4  |-  ( om 
~~  ran  A  ->  ran 
A  ~~  om )
5350, 51, 523syl 18 . . 3  |-  ( A : om -1-1-> _V  ->  ran 
A  ~~  om )
546rneqi 5072 . . . . 5  |-  ran  A  =  ran  ( n  e. 
om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
55 dmmptg 5343 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  om  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V  ->  dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om )
564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  e.  _V )
5755, 56mprg 2786 . . . . . . 7  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  =  om
5857, 1eqeltri 2504 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
59 funmpt 5628 . . . . . 6  |-  Fun  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )
60 funrnex 6765 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V  ->  ( Fun  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )  ->  ran  ( n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V ) )
6158, 59, 60mp2 9 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  om  |->  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) )  e.  _V
6254, 61eqeltri 2504 . . . 4  |-  ran  A  e.  _V
63 breq1 4420 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( a  ~~  om  <->  ran 
A  ~~  om )
)
64 raleq 3023 . . . . . 6  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  <->  A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6564exbidv 1758 . . . . 5  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( E. f A. z  e.  a  (
z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) )
6663, 65imbi12d 321 . . . 4  |-  ( a  =  ran  A  -> 
( ( a  ~~  om 
->  E. f A. z  e.  a  ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )  <->  ( ran  A 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) ) ) )
67 ax-cc 8854 . . . 4  |-  ( a 
~~  om  ->  E. f A. z  e.  a 
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )
6862, 66, 67vtocl 3130 . . 3  |-  ( ran 
A  ~~  om  ->  E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z ) )
6949, 53, 68mp2b 10 . 2  |-  E. f A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )
70 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) )  e.  _V
71 axcc2lem.3 . . . . 5  |-  G  =  ( n  e.  om  |->  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) ) )
7270, 71fnmpti 5715 . . . 4  |-  G  Fn  om
73 xpnz 5267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  <->  ( {
n }  X.  ( K `  n )
)  =/=  (/) )
7473biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { n }  =/=  (/) 
/\  ( K `  n )  =/=  (/) )  -> 
( { n }  X.  ( K `  n
) )  =/=  (/) )
7520, 38, 74sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  =/=  (/) )
7616, 75eqnetrd 2715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  =/=  (/) )
774, 6fnmpti 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  Fn  om
78 fnfvelrn 6025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  Fn  om  /\  n  e.  om )  ->  ( A `  n
)  e.  ran  A
)
7977, 78mpan 674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  om  ->  ( A `  n )  e.  ran  A )
80 neeq1 2703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
z  =/=  (/)  <->  ( A `  n )  =/=  (/) ) )
81 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
f `  z )  =  ( f `  ( A `  n ) ) )
82 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  z  =  ( A `  n ) )
8381, 82eleq12d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( f `  z
)  e.  z  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) )
8480, 83imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( A `  n )  ->  (
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  <->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( A `  n ) ) ) )
8584rspccv 3176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
( A `  n
)  e.  ran  A  ->  ( ( A `  n )  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8679, 85syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( A `  n
)  =/=  (/)  ->  (
f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `  n
) ) ) )
8776, 86mpdi 43 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( A `  n ) ) )
8887impcom 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n ) )
8916eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  om  ->  (
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9089adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( f `  ( A `  n ) )  e.  ( A `
 n )  <->  ( f `  ( A `  n
) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) ) ) )
9188, 90mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( f `  ( A `  n )
)  e.  ( { n }  X.  ( K `  n )
) )
92 xp2nd 6829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  ( A `
 n ) )  e.  ( { n }  X.  ( K `  n ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
94933adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  e.  ( K `  n ) )
9571fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  om  /\  ( 2nd `  ( f `
 ( A `  n ) ) )  e.  _V )  -> 
( G `  n
)  =  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n )
) ) )
9670, 95mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  om  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
97963ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  =  ( 2nd `  (
f `  ( A `  n ) ) ) )
9897eqcomd 2428 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( 2nd `  ( f `  ( A `  n ) ) )  =  ( G `  n ) )
99363ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  if ( ( F `
 n )  =  (/) ,  { (/) } , 
( F `  n
) ) )
100 ifnefalse 3918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  if (
( F `  n
)  =  (/) ,  { (/)
} ,  ( F `
 n ) )  =  ( F `  n ) )
1011003ad2ant3 1028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  if ( ( F `  n )  =  (/) ,  { (/) } ,  ( F `  n ) )  =  ( F `
 n ) )
10299, 101eqtrd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( K `  n )  =  ( F `  n ) )
10394, 98, 1023eltr3d 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  /\  ( F `  n )  =/=  (/) )  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) )
1041033expia 1207 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  om  /\  A. z  e.  ran  A
( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z ) )  -> 
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
105104expcom 436 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  (
n  e.  om  ->  ( ( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
106105ralrimiv 2835 . . . 4  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
107 fnex 6138 . . . . . 6  |-  ( ( G  Fn  om  /\  om  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
10872, 1, 107mp2an 676 . . . . 5  |-  G  e. 
_V
109 fneq1 5673 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  (
g  Fn  om  <->  G  Fn  om ) )
110 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  G  ->  (
g `  n )  =  ( G `  n ) )
111110eleq1d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  G  ->  (
( g `  n
)  e.  ( F `
 n )  <->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) )
112111imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( g  =  G  ->  (
( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
113112ralbidv 2862 . . . . . 6  |-  ( g  =  G  ->  ( A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) )  <->  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
114109, 113anbi12d 715 . . . . 5  |-  ( g  =  G  ->  (
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  <->  ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) ) )
115108, 114spcev 3170 . . . 4  |-  ( ( G  Fn  om  /\  A. n  e.  om  (
( F `  n
)  =/=  (/)  ->  ( G `  n )  e.  ( F `  n
) ) )  ->  E. g ( g  Fn 
om  /\  A. n  e.  om  ( ( F `
 n )  =/=  (/)  ->  ( g `  n )  e.  ( F `  n ) ) ) )
11672, 106, 115sylancr 667 . . 3  |-  ( A. z  e.  ran  A ( z  =/=  (/)  ->  (
f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
117116exlimiv 1766 . 2  |-  ( E. f A. z  e. 
ran  A ( z  =/=  (/)  ->  ( f `  z )  e.  z )  ->  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) ) )
11869, 117ax-mp 5 1  |-  E. g
( g  Fn  om  /\ 
A. n  e.  om  ( ( F `  n )  =/=  (/)  ->  (
g `  n )  e.  ( F `  n
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   _Vcvv 3078   (/)c0 3758   ifcif 3906   {csn 3993   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   Fun wfun 5586    Fn wfn 5587   -->wf 5588   -1-1->wf1 5589   -1-1-onto->wf1o 5591   ` cfv 5592   omcom 6697   2ndc2nd 6797    ~~ cen 7565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-2nd 6799  df-er 7362  df-en 7569
This theorem is referenced by:  axcc2  8856
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