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Theorem axc11next 36621
Description: This theorem shows that, given axext4 2405, we can derive a version of axc11n 2105. However, it is weaker than axc11n 2105 because it has a distinct variable requirement. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axc11next  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
Distinct variable group:    x, z

Proof of Theorem axc11next
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-ext 2401 . . . . . 6  |-  ( A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z
)  ->  x  =  z )
21alimi 1681 . . . . 5  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. x  x  =  z )
3 ax-11 1893 . . . . . . 7  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. w A. x ( w  e.  x  <->  w  e.  z
) )
4 ax-9 1873 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  x  ->  w  e.  z )
)
5 biimpr 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  (
w  e.  z  ->  w  e.  x )
)
65alimi 1681 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( w  e.  x  <->  w  e.  z
)  ->  A. x
( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
7 stdpc5v 1775 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( w  e.  z  ->  w  e.  x )  ->  (
w  e.  z  ->  A. x  w  e.  x ) )
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ( w  e.  x  <->  w  e.  z
)  ->  ( w  e.  z  ->  A. x  w  e.  x )
)
94, 8syl9 74 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( A. x ( w  e.  x  <->  w  e.  z
)  ->  ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )
) )
109alimdv 1754 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( A. w A. x ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x ) ) )
113, 10syl5 34 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x ) ) )
1211sps 1917 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z
)  ->  A. w
( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x ) ) )
132, 12mpcom 38 . . . 4  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. w
( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x ) )
1413axc4i 1954 . . 3  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. x A. w ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )
)
15 nfa1 1953 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  w  e.  x
161519.23 1967 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  <->  ( E. x  w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )
)
17 19.8a 1909 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  z  ->  E. z  w  e.  z )
18 elequ2 1874 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  z  <->  w  e.  x ) )
1918cbvexv 2079 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  w  e.  z  <->  E. x  w  e.  x )
2017, 19sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  z  ->  E. x  w  e.  x )
214cbvalivw 1839 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  w  e.  x  ->  A. z  w  e.  z )
2220, 21imim12i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  ->  ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z ) )
2316, 22sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A. x ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  ->  ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z ) )
2423alimi 1681 . . . . 5  |-  ( A. w A. x ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  ->  A. w ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )
)
2524alcoms 1894 . . . 4  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  ->  A. w ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )
)
2625alrimiv 1764 . . 3  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  ->  A. x  w  e.  x )  ->  A. z A. w
( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z ) )
27 nfa1 1953 . . . . . . . 8  |-  F/ z A. z  w  e.  z
282719.23 1967 . . . . . . 7  |-  ( A. z ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  <->  ( E. z  w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )
)
29 ax-9 1873 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
w  e.  z  ->  w  e.  x )
)
3029spimv 2064 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  w  e.  z  ->  w  e.  x )
3117, 30imim12i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  ( w  e.  z  ->  w  e.  x
) )
32 19.8a 1909 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  x  ->  E. x  w  e.  x )
33 elequ2 1874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
3433cbvexv 2079 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  w  e.  x  <->  E. z  w  e.  z )
3532, 34sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  x  ->  E. z  w  e.  z )
36 sp 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  w  e.  z  ->  w  e.  z )
3735, 36imim12i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. z  w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  ( w  e.  x  ->  w  e.  z ) )
3831, 37impbid 194 . . . . . . 7  |-  ( ( E. z  w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  ( w  e.  z  <-> 
w  e.  x ) )
3928, 38sylbi 199 . . . . . 6  |-  ( A. z ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  ( w  e.  z  <-> 
w  e.  x ) )
4039alimi 1681 . . . . 5  |-  ( A. w A. z ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  A. w ( w  e.  z  <->  w  e.  x ) )
4140alcoms 1894 . . . 4  |-  ( A. z A. w ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  A. w ( w  e.  z  <->  w  e.  x ) )
4241axc4i 1954 . . 3  |-  ( A. z A. w ( w  e.  z  ->  A. z  w  e.  z )  ->  A. z A. w
( w  e.  z  <-> 
w  e.  x ) )
4314, 26, 423syl 18 . 2  |-  ( A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z )  ->  A. z A. w ( w  e.  z  <->  w  e.  x
) )
44 axext4 2405 . . 3  |-  ( x  =  z  <->  A. w
( w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
4544albii 1688 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  <->  A. x A. w ( w  e.  x  <->  w  e.  z ) )
46 axext4 2405 . . 3  |-  ( z  =  x  <->  A. w
( w  e.  z  <-> 
w  e.  x ) )
4746albii 1688 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  <->  A. z A. w ( w  e.  z  <->  w  e.  x ) )
4843, 45, 473imtr4i 270 1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z  z  =  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188   A.wal 1436    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1661  df-nf 1665
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