Theorem axc11next 36621

Description: This theorem shows that, given axext4 2405, we can derive a version of axc11n 2105. However, it is weaker than axc11n 2105 because it has a distinct variable requirement. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axc11next	|- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Distinct variable group:   x, z

Proof of Theorem axc11next

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ext 2401	. . . . . 6 |- ( A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> x = z )
2	1	alimi 1681	. . . . 5 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x x = z )
3		ax-11 1893	. . . . . . 7 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) )
4		ax-9 1873	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( w e. x -> w e. z ) )
5		biimpr 202	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
6	5	alimi 1681	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x ( w e. z -> w e. x ) )
7		stdpc5v 1775	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. z -> w e. x ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
9	4, 8	syl9 74	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
10	9	alimdv 1754	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
11	3, 10	syl5 34	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
12	11	sps 1917	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
13	2, 12	mpcom 38	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
14	13	axc4i 1954	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
15		nfa1 1953	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x w e. x
16	15	19.23 1967	. . . . . . 7 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) <-> ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) )
17		19.8a 1909	. . . . . . . . 9 |- ( w e. z -> E. z w e. z )
18		elequ2 1874	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z <-> w e. x ) )
19	18	cbvexv 2079	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w e. z <-> E. x w e. x )
20	17, 19	sylib 200	. . . . . . . 8 |- ( w e. z -> E. x w e. x )
21	4	cbvalivw 1839	. . . . . . . 8 |- ( A. x w e. x -> A. z w e. z )
22	20, 21	imim12i 60	. . . . . . 7 |- ( ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
23	16, 22	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
24	23	alimi 1681	. . . . 5 |- ( A. w A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
25	24	alcoms 1894	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
26	25	alrimiv 1764	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
27		nfa1 1953	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z w e. z
28	27	19.23 1967	. . . . . . 7 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) <-> ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) )
29		ax-9 1873	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z -> w e. x ) )
30	29	spimv 2064	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. x )
31	17, 30	imim12i 60	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
32		19.8a 1909	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. x -> E. x w e. x )
33		elequ2 1874	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( w e. x <-> w e. z ) )
34	33	cbvexv 2079	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x w e. x <-> E. z w e. z )
35	32, 34	sylib 200	. . . . . . . . 9 |- ( w e. x -> E. z w e. z )
36		sp 1911	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. z )
37	35, 36	imim12i 60	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. x -> w e. z ) )
38	31, 37	impbid 194	. . . . . . 7 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
39	28, 38	sylbi 199	. . . . . 6 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
40	39	alimi 1681	. . . . 5 |- ( A. w A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
41	40	alcoms 1894	. . . 4 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
42	41	axc4i 1954	. . 3 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
43	14, 26, 42	3syl 18	. 2 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
44		axext4 2405	. . 3 |- ( x = z <-> A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
45	44	albii 1688	. 2 |- ( A. x x = z <-> A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
46		axext4 2405	. . 3 |- ( z = x <-> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
47	46	albii 1688	. 2 |- ( A. z z = x <-> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
48	43, 45, 47	3imtr4i 270	1 |- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   A.wal 1436   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1661  df-nf 1665

This theorem is referenced by: (None)