Theorem axc11next 31517

Description: This theorem shows that, given axext4 2439, we can derive a version of axc11n 2050. However, it is weaker than axc11n 2050 because it has a distinct variable requirement. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axc11next	|- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Distinct variable group:   x, z

Proof of Theorem axc11next

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ext 2435	. . . . . 6 |- ( A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> x = z )
2	1	alimi 1634	. . . . 5 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x x = z )
3		ax-11 1843	. . . . . . 7 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) )
4		ax-9 1823	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( w e. x -> w e. z ) )
5		bi2 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
6	5	alimi 1634	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x ( w e. z -> w e. x ) )
7		stdpc5v 1733	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. z -> w e. x ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
9	4, 8	syl9 71	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
10	9	alimdv 1710	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
11	3, 10	syl5 32	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
12	11	sps 1866	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
13	2, 12	mpcom 36	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
14	13	axc4i 1899	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
15		nfa1 1898	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x w e. x
16	15	19.23 1911	. . . . . . 7 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) <-> ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) )
17		19.8a 1858	. . . . . . . . 9 |- ( w e. z -> E. z w e. z )
18		elequ2 1824	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z <-> w e. x ) )
19	18	cbvexv 2025	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w e. z <-> E. x w e. x )
20	17, 19	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( w e. z -> E. x w e. x )
21	4	cbvalivw 1790	. . . . . . . 8 |- ( A. x w e. x -> A. z w e. z )
22	20, 21	imim12i 57	. . . . . . 7 |- ( ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
23	16, 22	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
24	23	alimi 1634	. . . . 5 |- ( A. w A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
25	24	alcoms 1844	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
26	25	alrimiv 1720	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
27		nfa1 1898	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z w e. z
28	27	19.23 1911	. . . . . . 7 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) <-> ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) )
29		ax-9 1823	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z -> w e. x ) )
30	29	spimv 2010	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. x )
31	17, 30	imim12i 57	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
32		19.8a 1858	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. x -> E. x w e. x )
33		elequ2 1824	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( w e. x <-> w e. z ) )
34	33	cbvexv 2025	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x w e. x <-> E. z w e. z )
35	32, 34	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( w e. x -> E. z w e. z )
36		sp 1860	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. z )
37	35, 36	imim12i 57	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. x -> w e. z ) )
38	31, 37	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
39	28, 38	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
40	39	alimi 1634	. . . . 5 |- ( A. w A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
41	40	alcoms 1844	. . . 4 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
42	41	axc4i 1899	. . 3 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
43	14, 26, 42	3syl 20	. 2 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
44		axext4 2439	. . 3 |- ( x = z <-> A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
45	44	albii 1641	. 2 |- ( A. x x = z <-> A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
46		axext4 2439	. . 3 |- ( z = x <-> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
47	46	albii 1641	. 2 |- ( A. z z = x <-> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
48	43, 45, 47	3imtr4i 266	1 |- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1614  df-nf 1618

This theorem is referenced by: (None)