Theorem axc11next 30919

Description: This theorem shows that, given axext4 2449, we can derive a version of axc11n 2022. However, it is weaker than axc11n 2022 because it has a distinct variable requirement. (Contributed by Andrew Salmon, 16-Jul-2011.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axc11next	|- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Distinct variable group:   x, z

Proof of Theorem axc11next

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ext 2445	. . . . . 6 |- ( A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> x = z )
2	1	alimi 1614	. . . . 5 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x x = z )
3		ax-11 1791	. . . . . . 7 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) )
4		ax-9 1771	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( w e. x -> w e. z ) )
5		bi2 198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
6	5	alimi 1614	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x ( w e. z -> w e. x ) )
7		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x w e. z
8	7	stdpc5 1855	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( w e. z -> w e. x ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
9	6, 8	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. z -> A. x w e. x ) )
10	4, 9	syl9 71	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
11	10	alimdv 1685	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. w A. x ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
12	3, 11	syl5 32	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
13	12	sps 1814	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) ) )
14	2, 13	mpcom 36	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
15	14	axc4i 1846	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) )
16		nfa1 1845	. . . . . . . 8 |- F/ x A. x w e. x
17	16	19.23 1857	. . . . . . 7 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) <-> ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) )
18		19.8a 1806	. . . . . . . . 9 |- ( w e. z -> E. z w e. z )
19		elequ2 1772	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z <-> w e. x ) )
20	19	cbvexv 1997	. . . . . . . . 9 |- ( E. z w e. z <-> E. x w e. x )
21	18, 20	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( w e. z -> E. x w e. x )
22		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ z w e. x
23	22, 7, 4	cbv3 1984	. . . . . . . 8 |- ( A. x w e. x -> A. z w e. z )
24	21, 23	imim12i 57	. . . . . . 7 |- ( ( E. x w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
25	17, 24	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> ( w e. z -> A. z w e. z ) )
26	25	alimi 1614	. . . . 5 |- ( A. w A. x ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
27	26	alcoms 1792	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
28	27	alrimiv 1695	. . 3 |- ( A. x A. w ( w e. x -> A. x w e. x ) -> A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) )
29		nfa1 1845	. . . . . . . 8 |- F/ z A. z w e. z
30	29	19.23 1857	. . . . . . 7 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) <-> ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) )
31		ax-9 1771	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( w e. z -> w e. x ) )
32	31	spimv 1978	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. x )
33	18, 32	imim12i 57	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z -> w e. x ) )
34		19.8a 1806	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. x -> E. x w e. x )
35		elequ2 1772	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( w e. x <-> w e. z ) )
36	35	cbvexv 1997	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x w e. x <-> E. z w e. z )
37	34, 36	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( w e. x -> E. z w e. z )
38		sp 1808	. . . . . . . . 9 |- ( A. z w e. z -> w e. z )
39	37, 38	imim12i 57	. . . . . . . 8 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. x -> w e. z ) )
40	33, 39	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( E. z w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
41	30, 40	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> ( w e. z <-> w e. x ) )
42	41	alimi 1614	. . . . 5 |- ( A. w A. z ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
43	42	alcoms 1792	. . . 4 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
44	43	axc4i 1846	. . 3 |- ( A. z A. w ( w e. z -> A. z w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
45	15, 28, 44	3syl 20	. 2 |- ( A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) -> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
46		axext4 2449	. . 3 |- ( x = z <-> A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
47	46	albii 1620	. 2 |- ( A. x x = z <-> A. x A. w ( w e. x <-> w e. z ) )
48		axext4 2449	. . 3 |- ( z = x <-> A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
49	48	albii 1620	. 2 |- ( A. z z = x <-> A. z A. w ( w e. z <-> w e. x ) )
50	45, 47, 49	3imtr4i 266	1 |- ( A. x x = z -> A. z z = x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1597  df-nf 1600

This theorem is referenced by: (None)