MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axaddrcl Structured version   Unicode version

Theorem axaddrcl 9546
Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 5 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-addrcl 9570 be used later. Instead, in most cases use readdcl 9592. (Contributed by NM, 31-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axaddrcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )

Proof of Theorem axaddrcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9525 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9525 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 oveq1 6303 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  <. y ,  0R >. ) )
43eleq1d 2526 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR ) )
5 oveq2 6304 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  +  <. y ,  0R >. )  =  ( A  +  B ) )
65eleq1d 2526 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR  <->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
7 addresr 9532 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  +R  y ) ,  0R >. )
8 addclsr 9477 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  +R  y
)  e.  R. )
9 opelreal 9524 . . . 4  |-  ( <.
( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR  <->  ( x  +R  y )  e.  R. )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  -> 
<. ( x  +R  y
) ,  0R >.  e.  RR )
117, 10eqeltrd 2545 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  e.  RR )
121, 2, 4, 6, 112gencl 3140 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   <.cop 4038  (class class class)co 6296   R.cnr 9260   0Rc0r 9261    +R cplr 9264   RRcr 9508    + caddc 9512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-ni 9267  df-pli 9268  df-mi 9269  df-lti 9270  df-plpq 9303  df-mpq 9304  df-ltpq 9305  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-plq 9309  df-mq 9310  df-1nq 9311  df-rq 9312  df-ltnq 9313  df-np 9376  df-1p 9377  df-plp 9378  df-ltp 9380  df-enr 9450  df-nr 9451  df-plr 9452  df-0r 9455  df-c 9515  df-r 9519  df-add 9520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator