Theorem axaddrcl 5272

Description: Closure law for addition in the real subfield of complex numbers. Axiom 6 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddrcl	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)

Proof of Theorem axaddrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5250	. 2 |- (A e. RR <-> E.x(x e. R. /\ <.x, 0R>. = A))
2		elreal 5250	. 2 |- (B e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = B))
3		opreq1 3968	. . 3 |- (<.x, 0R>. = A -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) = (A + <.y, 0R>.))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (<.x, 0R>. = A -> ((<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) e. RR <-> (A + <.y, 0R>.) e. RR))
5		opreq2 3969	. . 3 |- (<.y, 0R>. = B -> (A + <.y, 0R>.) = (A + B))
6	5	eleq1d 1540	. 2 |- (<.y, 0R>. = B -> ((A + <.y, 0R>.) e. RR <-> (A + B) e. RR))
7		addresr 5256	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) = <.(x +R y), 0R>.)
8		addclsr 5192	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (x +R y) e. R.)
9		opelreal 5249	. . . 4 |- (<.(x +R y), 0R>. e. RR <-> (x +R y) e. R.)
10	8, 9	sylibr 200	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R y), 0R>. e. RR)
11	7, 10	eqeltrd 1548	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, 0R>. + <.y, 0R>.) e. RR)
12	1, 2, 4, 6, 11	2gencl 1829	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  0Rc0r 4994   +R cplr 4997  RRcr 5233   + caddc 5237

This theorem is referenced by:  readdclt 5302  readdcl 5334  cnegextlem3 5347  cnegext 5348  peano2re 5436  resubclt 5438  0re 5440  axltadd 5505  ltaddsubt 5631  leaddsubt 5633  ltleaddt 5645  recextlem2 5683  recext 5684  recp1lt1 5901  recrecltt 5902  nnge1t 5943  nnaddm1clt 5958  avglet 6044  zaddclt 6165  uzindOLD 6208  fladdzt 6244  rpaddclt 6290  ser1recl 6331  icoshft 6408  bernneq 6652  absrelet 6869  absimlet 6870  caubnd 6926  ser1absdiflem 6929  fsumreclt 7017  fsumcmp 7040  fsumabs 7043  2climnn 7102  2climnn0 7103  climge0 7112  climaddlem3 7116  climmullem1 7120  climmullem2 7121  climmullem3 7122  climmullem4 7123  climmullem5 7124  climmullem8 7127  climcau 7156  caucvglem5 7161  caucvglem6 7162  caucvg 7163  serzf0 7169  ser1f0 7170  ser1cmp 7174  ser1cmp2lem 7176  ser1cmp2 7177  cvgcmp2lem 7180  infcvglem1 7221  infcvglem3 7223  ivthlem6 7286  ivthlem7 7287  efcn 7423  ruclem13 7522  metxplem3 7828  bl2in 7843  blss 7853  bl2ioo 7911  ioo2bl 7912  blssioo 7913  tgioolem 7914  iscau3 7938  iscau4 7940  lmuni 7951  lmle 7960  lmcau 7996  bcthlem24 8022  bcthlem25 8023  readdsubg 8129  ubthlem11 8539  minveclem21 8565  minveclem27 8571  minveclem31 8575  shftefif1olem 8741  relogmult 8770  hcau2 9055  nmoptri 10027  hmopidmch 10079  hstlet 10157  stadd 10173  stadd3 10175  cdj1 10360  cdj3lem2b 10364  cdj3 10368  truni1 10499  msr4 10626  mslb1 10629  msra3 10631  iintlem1 10632  iint 10634  trdom 10635  trran 10636  trnij 10637  cnvtr 10638

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-plus 5245

Copyright terms: Public domain