Theorem axaddcom 5287

Description: Addition of complex numbers is commutative. Axiom 9 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcom	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) = (B + A))

Proof of Theorem axaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5274	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'E)
2		addcnsrec 5275	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E + [<.z, w>.]`'E) = [<.(x +R z), (y +R w)>.]`'E)
3		addcnsrec 5275	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (x e. R. /\ y e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'E + [<.x, y>.]`'E) = [<.(z +R x), (w +R y)>.]`'E)
4		visset 1816	. . 3 |- x e. V
5		visset 1816	. . 3 |- z e. V
6	4, 5	addcomsr 5208	. 2 |- (x +R z) = (z +R x)
7		visset 1816	. . 3 |- y e. V
8		visset 1816	. . 3 |- w e. V
9	7, 8	addcomsr 5208	. 2 |- (y +R w) = (w +R y)
10	1, 2, 3, 6, 9	ecoprcom 4325	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) = (B + A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Ecep 2836  `'ccnv 3175  (class class class)co 3969  R.cnr 5005   +R cplr 5009  CCcc 5244   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  addcomt 5317  addcom 5334  addid2t 5341  add12t 5348  add23t 5349  add42t 5351  cnegextlem1 5357  cnegextlem3 5359  addcan 5363  addcan2t 5365  subsub23t 5388  addsubt 5396  addsub12t 5398  pncan2t 5410  negsubdi2t 5470  sub23t 5477  nnncan1t 5479  sub4t 5488  pnpcan2t 5491  ppncant 5493  ltadd2t 5636  leadd2t 5638  ltsubadd2t 5640  lesubadd2t 5642  ltaddsub2t 5644  leaddsub2t 5646  addgtge0t 5661  ltaddpos2t 5664  addge02t 5685  conjmult 5799  recp1lt1 5903  recrecltt 5904  nnleltp1t 5956  nn0nnaddclt 6128  zaddclt 6167  zneo 6202  shftval2t 6348  shftval4t 6350  fzshftralt 6523  seqzval2t 6554  subsqt 6643  bernneq2 6654  rimul 6745  fsumrev 7029  fsumshft 7031  bcxmas 7076  climshft2 7106  climaddc2 7119  efaddlem14 7351  ef1tllem 7381  cosnegt 7443  addcost 7459  sincossqt 7461  cos2tt 7463  absefit 7483  demoivre 7485  nn0ennn 7498  ioo2bl 7909  cnaddabl 8122  addinv 8124  ipval2 8353  hhph 9040  golem1 10193  stcltrlem1 10198  cdj3lem3b 10362  truni1 10485  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-c 5252  df-plus 5257

Copyright terms: Public domain