Theorem axaddass 5289

Description: Addition of complex numbers is associative. This theorem transfers the associative laws for the real and imaginary signed real components of complex number pairs, to complex number addition itself. Axiom 11 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddass	|- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Proof of Theorem axaddass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5274	. 2 |- CC = ((R. X. R.)/.`'E)
2		addcnsrec 5275	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E + [<.z, w>.]`'E) = [<.(x +R z), (y +R w)>.]`'E)
3		addcnsrec 5275	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.z, w>.]`'E + [<.v, u>.]`'E) = [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'E)
4		addcnsrec 5275	. 2 |- ((((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ([<.(x +R z), (y +R w)>.]`'E + [<.v, u>.]`'E) = [<.((x +R z) +R v), ((y +R w) +R u)>.]`'E)
5		addcnsrec 5275	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.)) -> ([<.x, y>.]`'E + [<.(z +R v), (w +R u)>.]`'E) = [<.(x +R (z +R v)), (y +R (w +R u))>.]`'E)
6		addclsr 5204	. . . 4 |- ((x e. R. /\ z e. R.) -> (x +R z) e. R.)
7		addclsr 5204	. . . 4 |- ((y e. R. /\ w e. R.) -> (y +R w) e. R.)
8	6, 7	anim12i 333	. . 3 |- (((x e. R. /\ z e. R.) /\ (y e. R. /\ w e. R.)) -> ((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.))
9	8	an4s 510	. 2 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (z e. R. /\ w e. R.)) -> ((x +R z) e. R. /\ (y +R w) e. R.))
10		addclsr 5204	. . . 4 |- ((z e. R. /\ v e. R.) -> (z +R v) e. R.)
11		addclsr 5204	. . . 4 |- ((w e. R. /\ u e. R.) -> (w +R u) e. R.)
12	10, 11	anim12i 333	. . 3 |- (((z e. R. /\ v e. R.) /\ (w e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
13	12	an4s 510	. 2 |- (((z e. R. /\ w e. R.) /\ (v e. R. /\ u e. R.)) -> ((z +R v) e. R. /\ (w +R u) e. R.))
14		visset 1816	. . 3 |- z e. V
15		visset 1816	. . 3 |- v e. V
16	14, 15	addasssr 5209	. 2 |- ((x +R z) +R v) = (x +R (z +R v))
17		visset 1816	. . 3 |- w e. V
18		visset 1816	. . 3 |- u e. V
19	17, 18	addasssr 5209	. 2 |- ((y +R w) +R u) = (y +R (w +R u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4326	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A + B) + C) = (A + (B + C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Ecep 2836  `'ccnv 3175  (class class class)co 3969  R.cnr 5005   +R cplr 5009  CCcc 5244   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  addasst 5319  addass 5336  add12t 5348  add23t 5349  add4t 5350  cnegextlem1 5357  cnegext 5360  addcan 5363  negeu 5367  addsubasst 5395  muladdt 5433  nnaddclt 5942  nneo 6199  uzaddclt 6450  expaddt 6597  bernneq 6653  ser1absdiflem 6929  faclbnd6 6954  fsum1ps 7018  fsum3 7024  fsum4 7025  binomlem5 7070  bcxmaslem2 7075  bcxmas 7076  ser1cmp2 7177  cvgratlem1ALT 7247  cvgratlem1 7250  fsum0diaglem2 7257  efi4pt 7435  efivalt 7447  cnaddabl 8122  stadd3 10170  golem1 10193  mslb1 10600  2wsms 10601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-c 5252  df-plus 5257

Copyright terms: Public domain