Theorem axacprim 30336

Description: ax-ac 8891 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axacprim	|- -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 9039	. 2 |- E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )
2		df-an 373	. . . . . . 7 |- ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> -. ( y e. z -> -. z e. w ) )
3	2	albii 1688	. . . . . 6 |- ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) <-> A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) )
4		anass 654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
5		annim 427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. w /\ -. ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) )
6		pm4.63 423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( y e. w -> -. w e. x ) <-> ( y e. w /\ w e. x ) )
7	6	anbi2i 699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. w /\ -. ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) )
8	5, 7	bitr3i 255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) )
9	8	anbi2i 699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. z /\ -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
10		annim 427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. z /\ -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
11	4, 9, 10	3bitr2i 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
12	11	exbii 1713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> E. w -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
13		exnal 1696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
14	12, 13	bitri 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
15	14	bibi1i 316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> y = w ) )
16		dfbi1 195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> y = w ) <-> -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
17	15, 16	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
18	17	albii 1688	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
19	18	exbii 1713	. . . . . . 7 |- ( E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> E. w A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
20		df-ex 1661	. . . . . . 7 |- ( E. w A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) <-> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
21	19, 20	bitri 253	. . . . . 6 |- ( E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
22	3, 21	imbi12i 328	. . . . 5 |- ( ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
23	22	2albii 1689	. . . 4 |- ( A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
24	23	exbii 1713	. . 3 |- ( E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> E. x A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
25		df-ex 1661	. . 3 |- ( E. x A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) <-> -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
26	24, 25	bitri 253	. 2 |- ( E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
27	1, 26	mpbi 212	1 |- -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1436   E.wex 1660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-reg 8111  ax-ac 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-br 4422  df-opab 4481  df-eprel 4762  df-fr 4810

This theorem is referenced by: (None)