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Theorem axacprim 30334
Description: ax-ac 8889 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axacprim  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim
StepHypRef Expression
1 axacnd 9037 . 2  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 df-an 373 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
32albii 1691 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
4 anass 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
5 annim 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  -.  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )
6 pm4.63 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )
76anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
85, 7bitr3i 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
98anbi2i 700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
10 annim 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
114, 9, 103bitr2i 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
1211exbii 1718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
13 exnal 1699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  -.  ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1514bibi1i 316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  <->  y  =  w ) )
16 dfbi1 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1715, 16bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1817albii 1691 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1918exbii 1718 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
20 df-ex 1664 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
2119, 20bitri 253 . . . . . 6  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
223, 21imbi12i 328 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
23222albii 1692 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2423exbii 1718 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x  -.  (
y  e.  z  ->  -.  z  e.  w
)  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) ) )
25 df-ex 1664 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2624, 25bitri 253 . 2  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
271, 26mpbi 212 1  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-reg 8107  ax-ac 8889
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-eprel 4745  df-fr 4793
This theorem is referenced by: (None)
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