Theorem axacprim 30406

Description: ax-ac 8907 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)

Assertion

Ref	Expression
axacprim	|- -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacnd 9055	. 2 |- E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )
2		df-an 378	. . . . . . 7 |- ( ( y e. z /\ z e. w ) <-> -. ( y e. z -> -. z e. w ) )
3	2	albii 1699	. . . . . 6 |- ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) <-> A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) )
4		anass 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
5		annim 432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. w /\ -. ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) )
6		pm4.63 428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. ( y e. w -> -. w e. x ) <-> ( y e. w /\ w e. x ) )
7	6	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. w /\ -. ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) )
8	5, 7	bitr3i 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) )
9	8	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. z /\ -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. w /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
10		annim 432	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. z /\ -. ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
11	4, 9, 10	3bitr2i 281	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
12	11	exbii 1726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> E. w -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
13		exnal 1707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. w -. ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
14	12, 13	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) )
15	14	bibi1i 321	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> y = w ) )
16		dfbi1 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) <-> y = w ) <-> -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
17	15, 16	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
18	17	albii 1699	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
19	18	exbii 1726	. . . . . . 7 |- ( E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> E. w A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
20		df-ex 1672	. . . . . . 7 |- ( E. w A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) <-> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
21	19, 20	bitri 257	. . . . . 6 |- ( E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) <-> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )
22	3, 21	imbi12i 333	. . . . 5 |- ( ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
23	22	2albii 1700	. . . 4 |- ( A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
24	23	exbii 1726	. . 3 |- ( E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> E. x A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
25		df-ex 1672	. . 3 |- ( E. x A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) <-> -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
26	24, 25	bitri 257	. 2 |- ( E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) <-> -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) ) )
27	1, 26	mpbi 213	1 |- -. A. x -. A. y A. z ( A. x -. ( y e. z -> -. z e. w ) -> -. A. w -. A. y -. ( ( -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) -> y = w ) -> -. ( y = w -> -. A. w ( y e. z -> ( z e. w -> ( y e. w -> -. w e. x ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-reg 8125  ax-ac 8907

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-eprel 4750  df-fr 4798

This theorem is referenced by: (None)