Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axacprim Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem axacprim 30406
Description: ax-ac 8907 without distinct variable conditions or defined symbols. (New usage is discouraged.) (Contributed by Scott Fenton, 26-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axacprim  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem axacprim
StepHypRef Expression
1 axacnd 9055 . 2  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 df-an 378 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
32albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w ) )
4 anass 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
5 annim 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  -.  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )
6 pm4.63 428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )
76anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  w  /\  -.  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
85, 7bitr3i 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
98anbi2i 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  ( y  e.  z  /\  (
z  e.  w  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
10 annim 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  z  /\  -.  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
114, 9, 103bitr2i 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
1211exbii 1726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w  -.  (
y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) )
13 exnal 1707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. w  -.  ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) )
1514bibi1i 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  <->  y  =  w ) )
16 dfbi1 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  -> 
( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1715, 16bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1817albii 1699 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
1918exbii 1726 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
20 df-ex 1672 . . . . . . 7  |-  ( E. w A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
2119, 20bitri 257 . . . . . 6  |-  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) )
223, 21imbi12i 333 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
23222albii 1700 . . . 4  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2423exbii 1726 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x  -.  (
y  e.  z  ->  -.  z  e.  w
)  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  (
( -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) )  ->  y  =  w )  ->  -.  (
y  =  w  ->  -.  A. w ( y  e.  z  ->  (
z  e.  w  -> 
( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x
) ) ) ) ) ) )
25 df-ex 1672 . . 3  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
2624, 25bitri 257 . 2  |-  ( E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  -.  A. x  -.  A. y A. z
( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) ) )
271, 26mpbi 213 1  |-  -.  A. x  -.  A. y A. z ( A. x  -.  ( y  e.  z  ->  -.  z  e.  w )  ->  -.  A. w  -.  A. y  -.  ( ( -.  A. w ( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x )
) )  ->  y  =  w )  ->  -.  ( y  =  w  ->  -.  A. w
( y  e.  z  ->  ( z  e.  w  ->  ( y  e.  w  ->  -.  w  e.  x ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-reg 8125  ax-ac 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-eprel 4750  df-fr 4798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator