Theorem axacndlem5 9006

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
axacndlem5	|- E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )

Distinct variable group:   z, w

Proof of Theorem axacndlem5

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem4 9005	. . . 4 |- E. x A. v A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) )
2		nfnae 2059	. . . . . 6 |- F/ x -. A. y y = z
3		nfnae 2059	. . . . . 6 |- F/ x -. A. y y = x
4		nfnae 2059	. . . . . 6 |- F/ x -. A. y y = w
5	2, 3, 4	nf3an 1931	. . . . 5 |- F/ x ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w )
6		nfnae 2059	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. y y = z
7		nfnae 2059	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. y y = x
8		nfnae 2059	. . . . . . 7 |- F/ y -. A. y y = w
9	6, 7, 8	nf3an 1931	. . . . . 6 |- F/ y ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w )
10		nfnae 2059	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. y y = z
11		nfnae 2059	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. y y = x
12		nfnae 2059	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. y y = w
13	10, 11, 12	nf3an 1931	. . . . . . 7 |- F/ z ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w )
14		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ y v )
15		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = z -> F/_ y z )
16	15	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ y z )
17	14, 16	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y v e. z )
18		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. y y = w -> F/_ y w )
19	18	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ y w )
20	16, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y z e. w )
21	17, 20	nfand 1926	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y ( v e. z /\ z e. w ) )
22	5, 21	nfald 1952	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y A. x ( v e. z /\ z e. w ) )
23		nfnae 2059	. . . . . . . . . 10 |- F/ w -. A. y y = z
24		nfnae 2059	. . . . . . . . . 10 |- F/ w -. A. y y = x
25		nfnae 2059	. . . . . . . . . 10 |- F/ w -. A. y y = w
26	23, 24, 25	nf3an 1931	. . . . . . . . 9 |- F/ w ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w )
27		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ v ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w )
28	14, 19	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y v e. w )
29		nfcvf 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A. y y = x -> F/_ y x )
30	29	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ y x )
31	19, 30	nfeld 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y w e. x )
32	28, 31	nfand 1926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y ( v e. w /\ w e. x ) )
33	21, 32	nfand 1926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) )
34	26, 33	nfexd 1953	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) )
35	14, 19	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y v = w )
36	34, 35	nfbid 1934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) )
37	27, 36	nfald 1952	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) )
38	26, 37	nfexd 1953	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) )
39	22, 38	nfimd 1918	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) )
40	13, 39	nfald 1952	. . . . . 6 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ y A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) )
41		nfcvd 2620	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ z v )
42		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. y y = z -> F/_ z y )
43	42	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ z y )
44	41, 43	nfeqd 2626	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ z v = y )
45	13, 44	nfan1 1928	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y )
46		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ x v )
47		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. y y = x -> F/_ x y )
48	47	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ x y )
49	46, 48	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ x v = y )
50	5, 49	nfan1 1928	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y )
51		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> v = y )
52	51	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( v e. z <-> y e. z ) )
53	52	anbi1d 704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( ( v e. z /\ z e. w ) <-> ( y e. z /\ z e. w ) ) )
54	50, 53	albid 1886	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) <-> A. x ( y e. z /\ z e. w ) ) )
55		nfcvd 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ w v )
56		nfcvf2 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. A. y y = w -> F/_ w y )
57	56	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/_ w y )
58	55, 57	nfeqd 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> F/ w v = y )
59	26, 58	nfan1 1928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ w ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y )
60	51	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( v e. w <-> y e. w ) )
61	60	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( ( v e. w /\ w e. x ) <-> ( y e. w /\ w e. x ) ) )
62	53, 61	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
63	59, 62	exbid 1887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) ) )
64	51	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( v = w <-> y = w ) )
65	63, 64	bibi12d 321	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) <-> ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
66	65	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( v = y -> ( ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) <-> ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) )
67	9, 36, 66	cbvald 2026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) <-> A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
68	26, 67	exbid 1887	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) <-> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
69	68	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) <-> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
70	54, 69	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) <-> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) )
71	45, 70	albid 1886	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) /\ v = y ) -> ( A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) <-> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) )
72	71	ex 434	. . . . . 6 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( v = y -> ( A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) <-> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) ) )
73	9, 40, 72	cbvald 2026	. . . . 5 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( A. v A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) <-> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) )
74	5, 73	exbid 1887	. . . 4 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> ( E. x A. v A. z ( A. x ( v e. z /\ z e. w ) -> E. w A. v ( E. w ( ( v e. z /\ z e. w ) /\ ( v e. w /\ w e. x ) ) <-> v = w ) ) <-> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) )
75	1, 74	mpbii 211	. . 3 |- ( ( -. A. y y = z /\ -. A. y y = x /\ -. A. y y = w ) -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
76	75	3exp 1195	. 2 |- ( -. A. y y = z -> ( -. A. y y = x -> ( -. A. y y = w -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) ) ) )
77		axacndlem3 9004	. 2 |- ( A. y y = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
78		axacndlem1 9002	. . 3 |- ( A. x x = y -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
79	78	aecoms 2053	. 2 |- ( A. y y = x -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
80		nfae 2057	. . . . 5 |- F/ z A. y y = w
81		en2lp 8047	. . . . . . . . 9 |- -. ( y e. z /\ z e. y )
82		elequ2 1824	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( z e. y <-> z e. w ) )
83	82	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( ( y e. z /\ z e. y ) <-> ( y e. z /\ z e. w ) ) )
84	81, 83	mtbii 302	. . . . . . . 8 |- ( y = w -> -. ( y e. z /\ z e. w ) )
85	84	sps 1866	. . . . . . 7 |- ( A. y y = w -> -. ( y e. z /\ z e. w ) )
86	85	pm2.21d 106	. . . . . 6 |- ( A. y y = w -> ( ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
87	86	spsd 1868	. . . . 5 |- ( A. y y = w -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
88	80, 87	alrimi 1878	. . . 4 |- ( A. y y = w -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
89	88	axc4i 1899	. . 3 |- ( A. y y = w -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
90		19.8a 1858	. . 3 |- ( A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
91	89, 90	syl 16	. 2 |- ( A. y y = w -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
92	76, 77, 79, 91	pm2.61iii 167	1 |- E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1393   E.wex 1613   F/_wnfc 2605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-reg 8036  ax-ac 8856

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-eprel 4800  df-fr 4847

This theorem is referenced by:  axacnd  9007