Theorem axacndlem5 6115

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axacndlem5	|- E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Distinct variable group:   z,w

Proof of Theorem axacndlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axacndlem4 6114	. . . 4 |- E.xA.vA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))
2		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
3		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
4		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = w -> A.x -. A.y y = w)
5	3, 4	hban 1356	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
6	2, 5	hban 1356	. . . . 5 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.x(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
7		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
8		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
9		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = w -> A.y -. A.y y = w)
10	8, 9	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
11	7, 10	hban 1356	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.y(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
12		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.z -. A.y y = z)
13		hbnae 1507	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
14		hbnae 1507	. . . . . . . . 9 |- (-. A.y y = w -> A.z -. A.y y = w)
15	13, 14	hban 1356	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.z(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
16	12, 15	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.z(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
17		dveel2 1748	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = z -> (v e. z -> A.y v e. z))
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v e. z -> A.y v e. z))
19		ax-15 1751	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = w -> (z e. w -> A.y z e. w)))
20	19	imp 377	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ -. A.y y = w) -> (z e. w -> A.y z e. w))
21	20	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (z e. w -> A.y z e. w))
22	18, 21	hband 1469	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((v e. z /\ z e. w) -> A.y(v e. z /\ z e. w)))
23	6, 22	hbald 1471	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) -> A.yA.x(v e. z /\ z e. w)))
24		hbnae 1507	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> A.w -. A.y y = z)
25		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = x -> A.w -. A.y y = x)
26		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.y y = w -> A.w -. A.y y = w)
27	25, 26	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = w))
28	24, 27	hban 1356	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.w(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
29		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> A.v(-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)))
30		dveel2 1748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = w -> (v e. w -> A.y v e. w))
31	30	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v e. w -> A.y v e. w))
32		ax-15 1751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (-. A.y y = w -> (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x)))
33	32	impcom 378	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) -> (w e. x -> A.y w e. x))
34	33	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (w e. x -> A.y w e. x))
35	31, 34	hband 1469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((v e. w /\ w e. x) -> A.y(v e. w /\ w e. x)))
36	22, 35	hband 1469	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) -> A.y((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x))))
37	28, 36	hbexd 1472	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) -> A.yE.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x))))
38		dveeq2 1582	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = w -> (v = w -> A.y v = w))
39	38	ad2antll 443	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = w -> A.y v = w))
40	11, 37, 39	hbbid 1470	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.y(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
41	29, 40	hbald 1471	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.yA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
42	28, 41	hbexd 1472	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) -> A.yE.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)))
43	11, 23, 42	hbimd 1468	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> ((A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) -> A.y(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))))
44	16, 43	hbald 1471	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) -> A.yA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w))))
45		nd5 6094	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = z -> (v = y -> A.z v = y))
46	45	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = y -> A.z v = y))
47	46	imdistani 491	. . . . . . . 8 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ v = y) -> ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y))
48		hba1 1350	. . . . . . . . . 10 |- (A.z v = y -> A.zA.z v = y)
49	16, 48	hban 1356	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y) -> A.z((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y))
50		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (v = y -> A.x v = y))
51	50	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ v = y) -> (-. A.y y = x /\ A.x v = y))
52		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x v = y -> A.xA.x v = y)
53		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (v = y -> (v e. z <-> y e. z))
54	53	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (v = y -> ((v e. z /\ z e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
55	54	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.x v = y -> ((v e. z /\ z e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
56	52, 55	albid 1459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x v = y -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
57	56	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ A.x v = y) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
58	51, 57	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = x /\ v = y) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
59		ax-4 1319	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.z v = y -> v = y)
60	58, 59	sylan2 500	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ A.z v = y) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
61	60	adantlr 429	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) /\ A.z v = y) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
62	61	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y) -> (A.x(v e. z /\ z e. w) <-> A.x(y e. z /\ z e. w)))
63		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (-. A.y y = w -> (v = y -> A.w v = y))
64	63	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((-. A.y y = w /\ v = y) -> (-. A.y y = w /\ A.w v = y))
65		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.w v = y -> A.wA.w v = y)
66		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (v = y -> (v e. w <-> y e. w))
67	66	anbi1d 679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (v = y -> ((v e. w /\ w e. x) <-> (y e. w /\ w e. x)))
68	54, 67	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (v = y -> (((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> ((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
69	68	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.w v = y -> (((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> ((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
70	65, 69	exbid 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.w v = y -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
71	70	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((-. A.y y = w /\ A.w v = y) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
72	64, 71	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = w /\ v = y) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
73	72	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = w) /\ v = y) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
74	73	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ v = y) -> (E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
75		equequ1 1494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (v = y -> (v = w <-> y = w))
76	75	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ v = y) -> (v = w <-> y = w))
77	74, 76	bibi12d 691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ v = y) -> ((E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) <-> (E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
78	77	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = y -> ((E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) <-> (E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
79	11, 40, 78	cbvald 1702	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) <-> A.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
80	28, 79	exbid 1460	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) <-> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
81	80	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y) -> (E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w) <-> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
82	62, 81	imbi12d 688	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y) -> ((A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> (A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
83	49, 82	albid 1459	. . . . . . . 8 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ A.z v = y) -> (A.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> A.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
84	47, 83	syl 12	. . . . . . 7 |- (((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) /\ v = y) -> (A.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> A.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
85	84	ex 402	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (v = y -> (A.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> A.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))))
86	11, 44, 85	cbvald 1702	. . . . 5 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (A.vA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> A.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
87	6, 86	exbid 1460	. . . 4 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> (E.xA.vA.z(A.x(v e. z /\ z e. w) -> E.wA.v(E.w((v e. z /\ z e. w) /\ (v e. w /\ w e. x)) <-> v = w)) <-> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))))
88	1, 87	mpbii 210	. . 3 |- ((-. A.y y = z /\ (-. A.y y = x /\ -. A.y y = w)) -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
89	88	exp32 408	. 2 |- (-. A.y y = z -> (-. A.y y = x -> (-. A.y y = w -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))))
90		axacndlem3 6113	. 2 |- (A.y y = z -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
91		axacndlem1 6111	. . 3 |- (A.x x = y -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
92	91	alequcoms 1503	. 2 |- (A.y y = x -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
93		hbae 1505	. . . . 5 |- (A.y y = w -> A.zA.y y = w)
94		en2lp 5707	. . . . . . . . 9 |- -. (y e. z /\ z e. y)
95		elequ2 1497	. . . . . . . . . 10 |- (y = w -> (z e. y <-> z e. w))
96	95	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (y = w -> ((y e. z /\ z e. y) <-> (y e. z /\ z e. w)))
97	94, 96	mtbii 784	. . . . . . . 8 |- (y = w -> -. (y e. z /\ z e. w))
98	97	a4s 1330	. . . . . . 7 |- (A.y y = w -> -. (y e. z /\ z e. w))
99	98	pm2.21d 94	. . . . . 6 |- (A.y y = w -> ((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
100	99	a4sd 1331	. . . . 5 |- (A.y y = w -> (A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
101	93, 100	19.21ai 1345	. . . 4 |- (A.y y = w -> A.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
102	101	a5i 1335	. . 3 |- (A.y y = w -> A.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
103		19.8a 1376	. . 3 |- (A.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)) -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
104	102, 103	syl 12	. 2 |- (A.y y = w -> E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
105	89, 90, 92, 104	pm2.61iii 147	1 |- E.xA.yA.z(A.x(y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  axacnd 6116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-reg 5695  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625

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