MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axacndlem5 Structured version   Unicode version

Theorem axacndlem5 9021
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem5  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Distinct variable group:    z, w

Proof of Theorem axacndlem5
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axacndlem4 9020 . . . 4  |-  E. x A. v A. z ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )
2 nfnae 2086 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 2086 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
4 nfnae 2086 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  w
52, 3, 4nf3an 1960 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
6 nfnae 2086 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
7 nfnae 2086 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
8 nfnae 2086 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  w
96, 7, 8nf3an 1960 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
10 nfnae 2086 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
11 nfnae 2086 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  x
12 nfnae 2086 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  w
1310, 11, 12nf3an 1960 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
14 nfcvd 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y v )
15 nfcvf 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
16153ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y z )
1714, 16nfeld 2574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  e.  z )
18 nfcvf 2591 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  F/_ y w )
19183ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y w )
2016, 19nfeld 2574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  z  e.  w )
2117, 20nfand 1955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( v  e.  z  /\  z  e.  w )
)
225, 21nfald 1981 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w ) )
23 nfnae 2086 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  z
24 nfnae 2086 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  x
25 nfnae 2086 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. y  y  =  w
2623, 24, 25nf3an 1960 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
27 nfv 1730 . . . . . . . . . 10  |-  F/ v ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)
2814, 19nfeld 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  e.  w )
29 nfcvf 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
30293ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ y x )
3119, 30nfeld 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  w  e.  x )
3228, 31nfand 1955 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( v  e.  w  /\  w  e.  x )
)
3321, 32nfand 1955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
3426, 33nfexd 1982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
3514, 19nfeqd 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y  v  =  w )
3634, 35nfbid 1963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w ) )
3727, 36nfald 1981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )
3826, 37nfexd 1982 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y E. w A. v ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w ) )
3922, 38nfimd 1947 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) ) )
4013, 39nfald 1981 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ y A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) ) )
41 nfcvd 2567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ z v )
42 nfcvf2 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
43423ad2ant1 1020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ z y )
4441, 43nfeqd 2573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ z  v  =  y )
4513, 44nfan1 1957 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
46 nfcvd 2567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ x v )
47 nfcvf2 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ x y )
48473ad2ant2 1021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ x y )
4946, 48nfeqd 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ x  v  =  y )
505, 49nfan1 1957 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  v  =  y )
5251eleq1d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  e.  z  <->  y  e.  z ) )
5352anbi1d 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
5450, 53albid 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  <->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
55 nfcvd 2567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ w v )
56 nfcvf2 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  w  ->  F/_ w y )
57563ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/_ w y )
5855, 57nfeqd 2573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  F/ w  v  =  y )
5926, 58nfan1 1957 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ w
( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w )  /\  v  =  y )
6051eleq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  e.  w  <->  y  e.  w ) )
6160anbi1d 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( v  e.  w  /\  w  e.  x
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6253, 61anbi12d 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
6359, 62exbid 1912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
6451eqeq1d 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
v  =  w  <->  y  =  w ) )
6563, 64bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( v  =  y  ->  ( ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w )  <->  ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
679, 36, 66cbvald 2054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( A. v
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w )  <->  A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
6826, 67exbid 1912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w )  <->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
6968adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( E. w A. v ( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  v  =  w )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7054, 69imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  (
( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v
( E. w ( ( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( v  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  v  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
7145, 70albid 1911 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  w
)  /\  v  =  y )  ->  ( A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( v  =  y  ->  ( A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) ) )
739, 40, 72cbvald 2054 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( A. v A. z ( A. x
( v  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
745, 73exbid 1912 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  ( E. x A. v A. z ( A. x ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. v ( E. w
( ( v  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
v  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  v  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
751, 74mpbii 213 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y 
y  =  w )  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
76753exp 1198 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
77 axacndlem3 9019 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
78 axacndlem1 9017 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7978aecoms 2080 . 2  |-  ( A. y  y  =  x  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
80 nfae 2084 . . . . 5  |-  F/ z A. y  y  =  w
81 en2lp 8065 . . . . . . . . 9  |-  -.  (
y  e.  z  /\  z  e.  y )
82 elequ2 1849 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  w ) )
8382anbi2d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  y )  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
8481, 83mtbii 302 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  -.  ( y  e.  z  /\  z  e.  w
) )
8584sps 1891 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  w  ->  -.  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) )
8685pm2.21d 108 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  w  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8786spsd 1893 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  w  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
8880, 87alrimi 1903 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  w  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8988axc4i 1928 . . 3  |-  ( A. y  y  =  w  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
90 19.8a 1883 . . 3  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
9189, 90syl 17 . 2  |-  ( A. y  y  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
9276, 77, 79, 91pm2.61iii 169 1  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976   A.wal 1405   E.wex 1635   F/_wnfc 2552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pr 4632  ax-reg 8054  ax-ac 8873
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-br 4398  df-opab 4456  df-eprel 4736  df-fr 4784
This theorem is referenced by:  axacnd  9022
  Copyright terms: Public domain W3C validator