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Theorem axacndlem4 8776
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem4  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Distinct variable group:    y, z, w

Proof of Theorem axacndlem4
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zfac 8628 . . . 4  |-  E. v A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )
2 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
3 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
4 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  w
52, 3, 4nf3an 1863 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)
6 nfnae 2005 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  z
7 nfnae 2005 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
8 nfnae 2005 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  w
96, 7, 8nf3an 1863 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)
10 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
11 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
12 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  w
1310, 11, 12nf3an 1863 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)
14 nfcvf 2600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
15143ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ x y )
16 nfcvf 2600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
17163ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ x z )
1815, 17nfeld 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x  y  e.  z )
19 nfcvf 2600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  w  ->  F/_ x w )
20193ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ x w )
2117, 20nfeld 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x  z  e.  w )
2218, 21nfand 1858 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) )
23 nfnae 2005 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. x  x  =  z
24 nfnae 2005 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. x  x  =  y
25 nfnae 2005 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. x  x  =  w
2623, 24, 25nf3an 1863 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)
2715, 20nfeld 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x  y  e.  w )
28 nfcvd 2579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ x v )
2920, 28nfeld 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x  w  e.  v )
3027, 29nfand 1858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x ( y  e.  w  /\  w  e.  v ) )
3122, 30nfand 1858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v
) ) )
3226, 31nfexd 1878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
) )
3315, 20nfeqd 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x  y  =  w )
3432, 33nfbid 1866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )
359, 34nfald 1877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v ) )  <->  y  =  w ) )
3626, 35nfexd 1878 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )
3722, 36nfimd 1850 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v ) )  <->  y  =  w ) ) )
3813, 37nfald 1877 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x A. z
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) ) )
399, 38nfald 1877 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ x A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) ) )
40 nfcvd 2579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ y v )
41 nfcvf2 2601 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
42413ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ y x )
4340, 42nfeqd 2592 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ y  v  =  x )
449, 43nfan1 1860 . . . . . . 7  |-  F/ y ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  v  =  x )
45 nfcvd 2579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ z v )
46 nfcvf2 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
47463ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ z x )
4845, 47nfeqd 2592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ z  v  =  x )
4913, 48nfan1 1860 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  v  =  x )
5022nfrd 1809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
5150adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
52 sp 1794 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  (
y  e.  z  /\  z  e.  w )
)
5351, 52impbid1 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  <->  A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
54 nfcvd 2579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ w v )
55 nfcvf2 2601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  w  ->  F/_ w x )
56553ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  -> 
F/_ w x )
5754, 56nfeqd 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  F/ w  v  =  x )
5826, 57nfan1 1860 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  v  =  x )
59 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  v  =  x )
6059eleq2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  x ) )
6160anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( y  e.  w  /\  w  e.  v
)  <->  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
6261anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
6358, 62exbid 1820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
6463bibi1d 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v ) )  <->  y  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6544, 64albid 1819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6658, 65exbid 1820 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6753, 66imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  (
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
6849, 67albid 1819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  ( A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) )
6944, 68albid 1819 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w
)  /\  v  =  x )  ->  ( A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
7069ex 434 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( v  =  x  ->  ( A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  v )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
715, 39, 70cbvexd 1974 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( E. v A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  v ) )  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
721, 71mpbii 211 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
73723exp 1186 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
74 axacndlem2 8774 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
75 axacndlem1 8773 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
76 nfae 2003 . . . 4  |-  F/ y A. x  x  =  w
77 nfae 2003 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  w
78 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  z  e.  w )
7978alimi 1604 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  z  e.  w )
80 nd2 8751 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  w  ->  -.  A. x  z  e.  w )
8180pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( A. x  z  e.  w  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8279, 81syl5 32 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
8377, 82alrimi 1811 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  w  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8476, 83alrimi 1811 . . 3  |-  ( A. x  x  =  w  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
85 19.8a 1793 . . 3  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8684, 85syl 16 . 2  |-  ( A. x  x  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8773, 74, 75, 86pm2.61iii 167 1  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367   E.wex 1586   F/_wnfc 2565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pr 4530  ax-reg 7806  ax-ac 8627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-v 2973  df-dif 3330  df-un 3332  df-nul 3637  df-sn 3877  df-pr 3879
This theorem is referenced by:  axacndlem5  8777
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