MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axacndlem3 Structured version   Unicode version

Theorem axacndlem3 8976
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )

Proof of Theorem axacndlem3
StepHypRef Expression
1 nfae 2060 . . . 4  |-  F/ z A. y  y  =  z
2 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  y  e.  z )
32alimi 1638 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  y  e.  z )
4 nd3 8955 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. x  y  e.  z )
54pm2.21d 106 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
63, 5syl5 32 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
71, 6alrimi 1882 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
87axc4i 1903 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
9 19.8a 1862 . 2  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
108, 9syl 16 1  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019
This theorem is referenced by:  axacndlem5  8978  axacnd  8979
  Copyright terms: Public domain W3C validator