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Theorem axacndlem1 9033
Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axacndlem1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )

Proof of Theorem axacndlem1
StepHypRef Expression
1 nfae 2111 . . 3  |-  F/ y A. x  x  =  y
2 nfae 2111 . . . 4  |-  F/ z A. x  x  =  y
3 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  y  e.  z )
43alimi 1680 . . . . 5  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  y  e.  z )
5 nd1 9013 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  y  e.  z )
65pm2.21d 109 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  y  e.  z  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
74, 6syl5 33 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
82, 7alrimi 1928 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
91, 8alrimi 1928 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
10 19.8a 1908 . 2  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
119, 10syl 17 1  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pr 4657  ax-reg 8110
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-v 3083  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3997  df-pr 3999
This theorem is referenced by:  axacndlem4  9036  axacndlem5  9037
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