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Theorem axacnd 9037
Description: A version of the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axacnd  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )

Proof of Theorem axacnd
Dummy variable  v is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axacndlem5 9036 . . . 4  |-  E. x A. y A. v ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
2 nfnae 2152 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 2152 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
4 nfnae 2152 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  w
52, 3, 4nf3an 2013 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
6 nfnae 2152 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  x
7 nfnae 2152 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  y
8 nfnae 2152 . . . . . . 7  |-  F/ y  -.  A. z  z  =  w
96, 7, 8nf3an 2013 . . . . . 6  |-  F/ y ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
10 nfnae 2152 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
11 nfnae 2152 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
12 nfnae 2152 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  w
1310, 11, 12nf3an 2013 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
14 nfcvf 2615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
15143ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z y )
16 nfcvd 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z v )
1715, 16nfeld 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  e.  v )
18 nfcvf 2615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. z  z  =  w  ->  F/_ z w )
19183ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z w )
2016, 19nfeld 2600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  v  e.  w )
2117, 20nfand 2008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( y  e.  v  /\  v  e.  w )
)
225, 21nfald 2034 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w ) )
23 nfnae 2152 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  x
24 nfnae 2152 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  y
25 nfnae 2152 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w  -.  A. z  z  =  w
2623, 24, 25nf3an 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ w
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)
2715, 19nfeld 2600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  e.  w )
28 nfcvf 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
29283ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ z x )
3019, 29nfeld 2600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  w  e.  x )
3127, 30nfand 2008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( y  e.  w  /\  w  e.  x )
)
3221, 31nfand 2008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) ) )
3326, 32nfexd 2035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) )
3415, 19nfeqd 2599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z  y  =  w )
3533, 34nfbid 2016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w ) )
369, 35nfald 2034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
3726, 36nfexd 2035 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w ) )
3822, 37nfimd 2000 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ z ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
39 nfcvd 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ x v )
40 nfcvf2 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ x z )
41403ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ x z )
4239, 41nfeqd 2599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ x  v  =  z )
435, 42nfan1 2010 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
44 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  v  =  z )
4544eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  z ) )
4644eleq1d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
v  e.  w  <->  z  e.  w ) )
4745, 46anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  <->  ( y  e.  z  /\  z  e.  w ) ) )
4843, 47albid 1963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  <->  A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
) ) )
49 nfcvd 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ w v )
50 nfcvf2 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. z  z  =  w  ->  F/_ w z )
51503ad2ant3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ w z )
5249, 51nfeqd 2599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ w  v  =  z )
5326, 52nfan1 2010 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
54 nfcvd 2593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ y v )
55 nfcvf2 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ y z )
56553ad2ant2 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/_ y z )
5754, 56nfeqd 2599 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  F/ y  v  =  z )
589, 57nfan1 2010 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w )  /\  v  =  z )
5947anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
) ) )
6053, 59exbid 1964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) ) ) )
6160bibi1d 321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w )  <->  ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6258, 61albid 1963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w )  <->  A. y ( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6353, 62exbid 1964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  ( E. w A. y ( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x
) )  <->  y  =  w )  <->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
6448, 63imbi12d 322 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z  z  =  w
)  /\  v  =  z )  ->  (
( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
6564ex 436 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( v  =  z  ->  ( ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
6613, 38, 65cbvald 2118 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( A. v
( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) )  <->  A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) ) )
679, 66albid 1963 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( A. y A. v ( A. x
( y  e.  v  /\  v  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
685, 67exbid 1964 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  ( E. x A. y A. v ( A. x ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  v  /\  v  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  <->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) )
691, 68mpbii 215 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y  /\  -.  A. z 
z  =  w )  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
70693exp 1207 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( -.  A. z  z  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) ) ) )
71 axacndlem2 9033 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7271aecoms 2146 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
73 axacndlem3 9034 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
7473aecoms 2146 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
75 nfae 2150 . . . 4  |-  F/ y A. z  z  =  w
76 simpr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  z  e.  w )
7776alimi 1684 . . . . . 6  |-  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  A. x  z  e.  w )
78 nd3 9014 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  w  ->  -.  A. x  z  e.  w )
7978pm2.21d 110 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  w  ->  ( A. x  z  e.  w  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8077, 79syl5 33 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  w  ->  ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
8180axc4i 1980 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  w  ->  A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8275, 81alrimi 1955 . . 3  |-  ( A. z  z  =  w  ->  A. y A. z
( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y
( E. w ( ( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  /\  ( y  e.  w  /\  w  e.  x ) )  <->  y  =  w ) ) )
83 19.8a 1935 . . 3  |-  ( A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )  ->  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8482, 83syl 17 . 2  |-  ( A. z  z  =  w  ->  E. x A. y A. z ( A. x
( y  e.  z  /\  z  e.  w
)  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) ) )
8570, 72, 74, 84pm2.61iii 171 1  |-  E. x A. y A. z ( A. x ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  ->  E. w A. y ( E. w
( ( y  e.  z  /\  z  e.  w )  /\  (
y  e.  w  /\  w  e.  x )
)  <->  y  =  w ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985   A.wal 1442   E.wex 1663   F/_wnfc 2579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-reg 8107  ax-ac 8889
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-eprel 4745  df-fr 4793
This theorem is referenced by:  zfcndac  9044  axacprim  30334
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