Theorem axac 4807

Description: Axiom of Choice expressed with fewest number of different variables. The penultimate step shows the logical equivalence to ax-ac 4806.

Assertion

Ref	Expression
axac	|- E.xA.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem axac

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-ac 4806	. 2 |- E.xA.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.vA.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v))
2		equequ2 1177	. . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (u = v <-> u = w))
3	2	bibi2d 629	. . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v) <-> (E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = w)))
4		elequ2 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = w -> (z e. t <-> z e. w))
5	4	anbi2d 627	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = w -> ((u e. z /\ z e. t) <-> (u e. z /\ z e. w)))
6		elequ2 1179	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = w -> (u e. t <-> u e. w))
7		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . . 13 |- (t = w -> (t e. x <-> w e. x))
8	6, 7	anbi12d 639	. . . . . . . . . . . 12 |- (t = w -> ((u e. t /\ t e. x) <-> (u e. w /\ w e. x)))
9	5, 8	anbi12d 639	. . . . . . . . . . 11 |- (t = w -> (((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> ((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x))))
10	9	cbvexv 1357	. . . . . . . . . 10 |- (E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)))
11	10	bibi1i 620	. . . . . . . . 9 |- ((E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = w) <-> (E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> u = w))
12	3, 11	syl6bb 547	. . . . . . . 8 |- (v = w -> ((E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v) <-> (E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> u = w)))
13	12	albidv 1320	. . . . . . 7 |- (v = w -> (A.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v) <-> A.u(E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> u = w)))
14		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = y -> (u e. z <-> y e. z))
15	14	anbi1d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (u = y -> ((u e. z /\ z e. w) <-> (y e. z /\ z e. w)))
16		elequ1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = y -> (u e. w <-> y e. w))
17	16	anbi1d 628	. . . . . . . . . . 11 |- (u = y -> ((u e. w /\ w e. x) <-> (y e. w /\ w e. x)))
18	15, 17	anbi12d 639	. . . . . . . . . 10 |- (u = y -> (((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> ((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
19	18	exbidv 1321	. . . . . . . . 9 |- (u = y -> (E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x))))
20		equequ1 1176	. . . . . . . . 9 |- (u = y -> (u = w <-> y = w))
21	19, 20	bibi12d 640	. . . . . . . 8 |- (u = y -> ((E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> u = w) <-> (E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
22	21	cbvalv 1356	. . . . . . 7 |- (A.u(E.w((u e. z /\ z e. w) /\ (u e. w /\ w e. x)) <-> u = w) <-> A.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))
23	13, 22	syl6bb 547	. . . . . 6 |- (v = w -> (A.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v) <-> A.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
24	23	cbvexv 1357	. . . . 5 |- (E.vA.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v) <-> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))
25	24	imbi2i 192	. . . 4 |- (((y e. z /\ z e. w) -> E.vA.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v)) <-> ((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
26	25	2albii 1041	. . 3 |- (A.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.vA.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v)) <-> A.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
27	26	exbii 1092	. 2 |- (E.xA.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.vA.u(E.t((u e. z /\ z e. t) /\ (u e. t /\ t e. x)) <-> u = v)) <-> E.xA.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w)))
28	1, 27	mpbi 196	1 |- E.xA.yA.z((y e. z /\ z e. w) -> E.wA.y(E.w((y e. z /\ z e. w) /\ (y e. w /\ w e. x)) <-> y = w))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021

This theorem is referenced by:  axacndlem4 5027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-ac 4806

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-an 232  df-ex 1022

Copyright terms: Public domain