Theorem ax6e2ndeqALT 31949

Description: "At least two sets exist" expressed in the form of dtru 4567 is logically equivalent to the same expressed in a form similar to ax6e 1947 if dtru 4567 is false implies u = v. Proof derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in ax6e2ndeqVD 31927. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax6e2ndeqALT	|- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) <-> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Distinct variable groups:   x, u   y, u   x, v   y, v

Proof of Theorem ax6e2ndeqALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax6e2nd 31549	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
2		ax6e2eq 31548	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
3	1	a1d 25	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
4		exmid 415	. . . 4 |- ( A. x x = y \/ -. A. x x = y )
5		jao 512	. . . . 5 |- ( ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( ( A. x x = y \/ -. A. x x = y ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) ) )
6	5	3imp 1182	. . . 4 |- ( ( ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) /\ ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) /\ ( A. x x = y \/ -. A. x x = y ) ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
7	2, 3, 4, 6	mp3an 1315	. . 3 |- ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
8	1, 7	jaoi 379	. 2 |- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
9		hbnae 2007	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
10	9	eximi 1626	. . . . . . . 8 |- ( E. y -. A. x x = y -> E. y A. y -. A. x x = y )
11		nfa1 1832	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y -. A. x x = y
12	11	19.9 1828	. . . . . . . 8 |- ( E. y A. y -. A. x x = y <-> A. y -. A. x x = y )
13	10, 12	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( E. y -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
14		sp 1795	. . . . . . 7 |- ( A. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
15	13, 14	syl 16	. . . . . 6 |- ( E. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
16		excom 1788	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) )
17		nfa1 1832	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x x = y
18	17	nfn 1836	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x x = y
19	18	19.9 1828	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y )
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u =/= v -> u =/= v )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> ( x = u /\ y = v ) )
22		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
23	21, 22	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x = u )
24		pm13.181 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ u =/= v ) -> x =/= v )
25	24	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u =/= v /\ x = u ) -> x =/= v )
26	20, 23, 25	eel121 31723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x =/= v )
27		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
28	21, 27	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> y = v )
29		neeq2 2728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = v -> ( x =/= y <-> x =/= v ) )
30	29	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= v /\ y = v ) -> x =/= y )
31	26, 28, 30	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x =/= y )
32		df-ne 2643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
33	32	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
34		sp 1795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x x = y -> x = y )
35	34	con3i 135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = y -> -. A. x x = y )
36	33, 35	sylbir 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= y -> -. A. x x = y )
37	31, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> -. A. x x = y )
38	37	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u =/= v -> ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
39	38	alrimiv 1686	. . . . . . . . . . 11 |- ( u =/= v -> A. x ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
40		exim 1624	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) )
41	39, 40	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( u =/= v -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) )
42		imbi2 324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y ) -> ( ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) <-> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) ) )
43	42	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y ) /\ ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) ) -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
44	19, 41, 43	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( u =/= v -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
45	44	alrimiv 1686	. . . . . . . 8 |- ( u =/= v -> A. y ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
46		exim 1624	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
47	45, 46	syl 16	. . . . . . 7 |- ( u =/= v -> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
48		imbi1 323	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) <-> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) )
49	48	biimpar 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) /\ ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
50	16, 47, 49	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
51		pm3.34 586	. . . . . 6 |- ( ( ( E. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y ) /\ ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
52	15, 50, 51	sylancr 663	. . . . 5 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
53		orc 385	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
54	53	imim2i 14	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
55	52, 54	syl 16	. . . 4 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
56	55	idiALT 31435	. . 3 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
57		id 22	. . . . . 6 |- ( u = v -> u = v )
58		ax-1 6	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) )
59	57, 58	syl 16	. . . . 5 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) )
60		olc 384	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
61	60	imim2i 14	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
62	59, 61	syl 16	. . . 4 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
63	62	idiALT 31435	. . 3 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
64		exmidne 2651	. . 3 |- ( u = v \/ u =/= v )
65		jao 512	. . . 4 |- ( ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) -> ( ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) -> ( ( u = v \/ u =/= v ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) ) )
66	65	3imp21 31559	. . 3 |- ( ( ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) /\ ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) /\ ( u = v \/ u =/= v ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
67	56, 63, 64, 66	mp3an 1315	. 2 |- ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
68	8, 67	impbii 188	1 |- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) <-> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   A.wal 1368   = wceq 1370   E.wex 1587   =/= wne 2641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-ne 2643  df-v 3056

This theorem is referenced by: (None)