Theorem ax6e2ndeqALT 37367

Description: "At least two sets exist" expressed in the form of dtru 4607 is logically equivalent to the same expressed in a form similar to ax6e 2104 if dtru 4607 is false implies u = v. Proof derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in ax6e2ndeqVD 37345. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax6e2ndeqALT	|- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) <-> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Distinct variable groups:   x, u   y, u   x, v   y, v

Proof of Theorem ax6e2ndeqALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax6e2nd 36968	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
2		ax6e2eq 36967	. . . 4 |- ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
3	1	a1d 26	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
4		exmid 421	. . . 4 |- ( A. x x = y \/ -. A. x x = y )
5		jao 519	. . . . 5 |- ( ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) -> ( ( A. x x = y \/ -. A. x x = y ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) ) )
6	5	3imp 1208	. . . 4 |- ( ( ( A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) /\ ( -. A. x x = y -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) ) /\ ( A. x x = y \/ -. A. x x = y ) ) -> ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) )
7	2, 3, 4, 6	mp3an 1373	. . 3 |- ( u = v -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
8	1, 7	jaoi 385	. 2 |- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
9		hbnae 2161	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
10	9	eximi 1717	. . . . . . . 8 |- ( E. y -. A. x x = y -> E. y A. y -. A. x x = y )
11		nfa1 1989	. . . . . . . . 9 |- F/ y A. y -. A. x x = y
12	11	19.9 1980	. . . . . . . 8 |- ( E. y A. y -. A. x x = y <-> A. y -. A. x x = y )
13	10, 12	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( E. y -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
14		sp 1947	. . . . . . 7 |- ( A. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( E. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
16		excom 1937	. . . . . . 7 |- ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) )
17		nfa1 1989	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. x x = y
18	17	nfn 1993	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x -. A. x x = y
19	18	19.9 1980	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y )
20		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u =/= v -> u =/= v )
21		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> ( x = u /\ y = v ) )
22		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x = u )
24		pm13.181 2717	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = u /\ u =/= v ) -> x =/= v )
25	24	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u =/= v /\ x = u ) -> x =/= v )
26	20, 23, 25	syl2an2r 847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x =/= v )
27		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
28	21, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> y = v )
29		neeq2 2698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = v -> ( x =/= y <-> x =/= v ) )
30	29	biimparc 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x =/= v /\ y = v ) -> x =/= y )
31	26, 28, 30	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> x =/= y )
32		df-ne 2634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x =/= y <-> -. x = y )
33	32	bicomi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = y <-> x =/= y )
34		sp 1947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x x = y -> x = y )
35	34	con3i 142	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. x = y -> -. A. x x = y )
36	33, 35	sylbir 218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x =/= y -> -. A. x x = y )
37	31, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u =/= v /\ ( x = u /\ y = v ) ) -> -. A. x x = y )
38	37	ex 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u =/= v -> ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
39	38	alrimiv 1783	. . . . . . . . . . 11 |- ( u =/= v -> A. x ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
40		exim 1716	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x ( ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( u =/= v -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) )
42		imbi2 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y ) -> ( ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) <-> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) ) )
43	42	biimpa 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( E. x -. A. x x = y <-> -. A. x x = y ) /\ ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x -. A. x x = y ) ) -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
44	19, 41, 43	sylancr 674	. . . . . . . . 9 |- ( u =/= v -> ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
45	44	alrimiv 1783	. . . . . . . 8 |- ( u =/= v -> A. y ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
46		exim 1716	. . . . . . . 8 |- ( A. y ( E. x ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( u =/= v -> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
48		imbi1 329	. . . . . . . 8 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) <-> ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) )
49	48	biimpar 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) <-> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) /\ ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
50	16, 47, 49	sylancr 674	. . . . . 6 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) )
51		pm3.34 594	. . . . . 6 |- ( ( ( E. y -. A. x x = y -> -. A. x x = y ) /\ ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> E. y -. A. x x = y ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
52	15, 50, 51	sylancr 674	. . . . 5 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) )
53		orc 391	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
54	53	imim2i 16	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> -. A. x x = y ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
55	52, 54	syl 17	. . . 4 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
56	55	idiALT 36875	. . 3 |- ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
57		id 22	. . . . . 6 |- ( u = v -> u = v )
58		ax-1 6	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) )
59	57, 58	syl 17	. . . . 5 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) )
60		olc 390	. . . . . 6 |- ( u = v -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
61	60	imim2i 16	. . . . 5 |- ( ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> u = v ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
62	59, 61	syl 17	. . . 4 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
63	62	idiALT 36875	. . 3 |- ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
64		exmidne 2644	. . 3 |- ( u = v \/ u =/= v )
65		jao 519	. . . 4 |- ( ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) -> ( ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) -> ( ( u = v \/ u =/= v ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) ) )
66	65	3imp21 1227	. . 3 |- ( ( ( u =/= v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) /\ ( u = v -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) ) /\ ( u = v \/ u =/= v ) ) -> ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) ) )
67	56, 63, 64, 66	mp3an 1373	. 2 |- ( E. x E. y ( x = u /\ y = v ) -> ( -. A. x x = y \/ u = v ) )
68	8, 67	impbii 192	1 |- ( ( -. A. x x = y \/ u = v ) <-> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   A.wal 1452   = wceq 1454   E.wex 1673   =/= wne 2632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-ne 2634  df-v 3058

This theorem is referenced by: (None)