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Theorem ax6e2ndeqALT 37233
Description: "At least two sets exist" expressed in the form of dtru 4613 is logically equivalent to the same expressed in a form similar to ax6e 2057 if dtru 4613 is false implies  u  =  v. Proof derived by completeusersproof.c from User's Proof in VirtualDeductionProofs.txt. The User's Proof in html format is displayed in ax6e2ndeqVD 37211. (Contributed by Alan Sare, 11-Sep-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax6e2ndeqALT  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
Distinct variable groups:    x, u    y, u    x, v    y,
v

Proof of Theorem ax6e2ndeqALT
StepHypRef Expression
1 ax6e2nd 36827 . . 3  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
2 ax6e2eq 36826 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
31a1d 27 . . . 4  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
4 exmid 417 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y )
5 jao 515 . . . . 5  |-  ( ( A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  ->  ( ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  ->  ( ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y )  -> 
( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) ) ) )
653imp 1200 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  x  =  y  ->  (
u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )
) )  /\  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )  /\  ( A. x  x  =  y  \/  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( u  =  v  ->  E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v ) ) )
72, 3, 4, 6mp3an 1361 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
81, 7jaoi 381 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  ->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )
)
9 hbnae 2113 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
109eximi 1703 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  E. y A. y  -. 
A. x  x  =  y )
11 nfa1 1953 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y  -.  A. x  x  =  y
121119.9 1944 . . . . . . . 8  |-  ( E. y A. y  -. 
A. x  x  =  y  <->  A. y  -.  A. x  x  =  y
)
1310, 12sylib 200 . . . . . . 7  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  A. y  -.  A. x  x  =  y )
14 sp 1911 . . . . . . 7  |-  ( A. y  -.  A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
1513, 14syl 17 . . . . . 6  |-  ( E. y  -.  A. x  x  =  y  ->  -. 
A. x  x  =  y )
16 excom 1900 . . . . . . 7  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )
)
17 nfa1 1953 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. x  x  =  y
1817nfn 1957 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
191819.9 1944 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -.  A. x  x  =  y )
20 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =/=  v  ->  u  =/=  v )
21 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  (
x  =  u  /\  y  =  v )
)
22 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  x  =  u )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =  u )
24 pm13.181 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  u  /\  u  =/=  v )  ->  x  =/=  v )
2524ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =/=  v  /\  x  =  u )  ->  x  =/=  v )
2620, 23, 25eel121 37001 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =/=  v )
27 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  y  =  v )
2821, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  y  =  v )
29 neeq2 2708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  (
x  =/=  y  <->  x  =/=  v ) )
3029biimparc 490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =/=  v  /\  y  =  v )  ->  x  =/=  y )
3126, 28, 30syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  x  =/=  y )
32 df-ne 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
3332bicomi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  <->  x  =/=  y )
34 sp 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  x  =  y  ->  x  =  y )
3534con3i 141 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
3633, 35sylbir 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =/=  y  ->  -.  A. x  x  =  y )
3731, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =/=  v  /\  ( x  =  u  /\  y  =  v
) )  ->  -.  A. x  x  =  y )
3837ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =/=  v  ->  (
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )
)
3938alrimiv 1764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =/=  v  ->  A. x
( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
40 exim 1702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x ( ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )
42 imbi2 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -. 
A. x  x  =  y )  ->  (
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y
)  <->  ( E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )
) )
4342biimpa 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( E. x  -.  A. x  x  =  y  <->  -.  A. x  x  =  y )  /\  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. x  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
4419, 41, 43sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
4544alrimiv 1764 . . . . . . . 8  |-  ( u  =/=  v  ->  A. y
( E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
46 exim 1702 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )
4745, 46syl 17 . . . . . . 7  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y
) )
48 imbi1 325 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x
( x  =  u  /\  y  =  v ) )  ->  (
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y )  <->  ( E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y )
) )
4948biimpar 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  <->  E. y E. x ( x  =  u  /\  y  =  v ) )  /\  ( E. y E. x
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )
5016, 47, 49sylancr 668 . . . . . 6  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y
) )
51 pm3.34 589 . . . . . 6  |-  ( ( ( E. y  -. 
A. x  x  =  y  ->  -.  A. x  x  =  y )  /\  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  E. y  -.  A. x  x  =  y ) )  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
5215, 50, 51sylancr 668 . . . . 5  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y ) )
53 orc 387 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) )
5453imim2i 16 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )
5552, 54syl 17 . . . 4  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
5655idiALT 36734 . . 3  |-  ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
57 id 23 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  u  =  v )
58 ax-1 6 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v ) )
5957, 58syl 17 . . . . 5  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v ) )
60 olc 386 . . . . . 6  |-  ( u  =  v  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) )
6160imim2i 16 . . . . 5  |-  ( ( E. x E. y
( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  u  =  v )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6259, 61syl 17 . . . 4  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6362idiALT 36734 . . 3  |-  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
64 exmidne 2630 . . 3  |-  ( u  =  v  \/  u  =/=  v )
65 jao 515 . . . 4  |-  ( ( u  =  v  -> 
( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )  ->  ( ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )  ->  (
( u  =  v  \/  u  =/=  v
)  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) ) ) )
66653imp21 36837 . . 3  |-  ( ( ( u  =/=  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v ) ) )  /\  ( u  =  v  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )  /\  (
u  =  v  \/  u  =/=  v ) )  ->  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  -> 
( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
) )
6756, 63, 64, 66mp3an 1361 . 2  |-  ( E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )
)
688, 67impbii 191 1  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  \/  u  =  v )  <->  E. x E. y ( x  =  u  /\  y  =  v ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371   A.wal 1436    = wceq 1438   E.wex 1660    =/= wne 2619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-ne 2621  df-v 3084
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