Theorem ax6e2nd 32812

Description: If at least two sets exist (dtru 4644) , then the same is true expressed in an alternate form similar to the form of ax6e 1971. ax6e2nd 32812 is derived from ax6e2ndVD 33189. (Contributed by Alan Sare, 25-Mar-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax6e2nd	|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Distinct variable groups:   x, u   y, u   x, v

Proof of Theorem ax6e2nd

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3121	. . . . . . 7 |- u e. _V
2		ax6e 1971	. . . . . . 7 |- E. y y = v
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . . . 6 |- ( u e. _V /\ E. y y = v )
4		19.42v 1949	. . . . . . 7 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( u e. _V /\ E. y y = v ) )
5	4	biimpri 206	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ E. y y = v ) -> E. y ( u e. _V /\ y = v ) )
6	3, 5	ax-mp 5	. . . . 5 |- E. y ( u e. _V /\ y = v )
7		isset 3122	. . . . . . 7 |- ( u e. _V <-> E. x x = u )
8	7	anbi1i 695	. . . . . 6 |- ( ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( E. x x = u /\ y = v ) )
9	8	exbii 1644	. . . . 5 |- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> E. y ( E. x x = u /\ y = v ) )
10	6, 9	mpbi 208	. . . 4 |- E. y ( E. x x = u /\ y = v )
11		id 22	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> -. A. x x = y )
12		hbnae 2030	. . . . . . 7 |- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y )
13		hbn1 1787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. x x = y -> A. x -. A. x x = y )
14		ax-5 1680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> A. x z = v )
15		ax-5 1680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = v -> A. z y = v )
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> z = y )
17		equequ1 1747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
19	18	idiALT 32698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) )
20	14, 15, 19	dvelimh 2051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
21	11, 20	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
22	21	idiALT 32698	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) )
23	22	alimi 1614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
24	13, 23	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
25	11, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) )
26		19.41rg 32804	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x ( y = v -> A. x y = v ) -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
28	27	idiALT 32698	. . . . . . . 8 |- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
29	28	alimi 1614	. . . . . . 7 |- ( A. y -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
30	12, 29	syl 16	. . . . . 6 |- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
31	11, 30	syl 16	. . . . 5 |- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
32		exim 1633	. . . . 5 |- ( A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
33	31, 32	syl 16	. . . 4 |- ( -. A. x x = y -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
34		pm2.27 39	. . . 4 |- ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> ( ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) )
35	10, 33, 34	mpsyl 63	. . 3 |- ( -. A. x x = y -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) )
36		excomim 1799	. . 3 |- ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
37	35, 36	syl 16	. 2 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )
38	37	idiALT 32698	1 |- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   e. wcel 1767   _Vcvv 3118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-v 3120

This theorem is referenced by:  ax6e2ndeq  32813  ax6e2ndeqVD  33190  ax6e2ndeqALT  33212