MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem9 Structured version   Unicode version

Theorem ax5seglem9 23186
Description: Lemma for ax5seg 23187. Take the calculation in ax5seglem8 23185 and turn it into a series of measurements. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    D, i, j   
i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem9
StepHypRef Expression
1 fzfid 11798 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
2 0re 9389 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
3 1re 9388 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
42, 3elicc2i 11364 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
54simp1bi 1003 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
65recnd 9415 . . . 4  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  CC )
76ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
8 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
98ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
10 fveecn 23151 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
119, 10sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
12 simprrr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
1312ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  D  e.  ( EE `  N ) )
14 fveecn 23151 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  j )  e.  CC )
1513, 14sylancom 667 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  j )  e.  CC )
1611, 15subcld 9722 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( C `  j )  -  ( D `  j ) )  e.  CC )
1716sqcld 12009 . . 3  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( C `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
181, 7, 17fsummulc2 13254 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  (
( ( C `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 ) ) )
19 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
21 fveecn 23151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
2220, 21sylancom 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
2322, 11subcld 9722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
2423sqcld 12009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
251, 7, 24fsummulc2 13254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
2625oveq1d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) )
277adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
2827, 24mulcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2922, 15subcld 9722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) )  e.  CC )
3029sqcld 12009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
311, 28, 30fsumsub 13258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( T  x.  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  ( ( ( A `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) ) )
3226, 31eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
3332oveq2d 6110 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  T
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( T  x.  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  ( ( ( A `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) ) ) )
34 ax-1cn 9343 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
35 subcl 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
3634, 7, 35sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
3728, 30subcld 9722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( T  x.  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
381, 36, 37fsummulc2 13254 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( T  x.  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  ( ( ( A `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) )
3933, 38eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) )
4039oveq2d 6110 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
41 simprlr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  B  e.  ( EE `  N ) )
43 fveecn 23151 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
4442, 43sylancom 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  e.  CC )
4544, 15subcld 9722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `  j )  -  ( D `  j ) )  e.  CC )
4645sqcld 12009 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( B `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4734, 27, 35sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( 1  -  T )  e.  CC )
4847, 37mulcld 9409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  -  ( ( ( A `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
491, 46, 48fsumadd 13218 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( B `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 )  +  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
5040, 49eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( B `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
51 fveq2 5694 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
52 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
5352oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
54 fveq2 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
5554oveq2d 6110 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
5653, 55oveq12d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
5751, 56eqeq12d 2457 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
5857rspccva 3075 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
5958adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
6059adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
61 ax5seglem8 23185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( D `
 j )  e.  CC ) )  -> 
( T  x.  (
( ( C `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
62 oveq1 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( B `  j
)  -  ( D `
 j ) )  =  ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( D `  j )
) )
6362oveq1d 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )
6463oveq1d 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( ( B `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6564eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( B `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6661, 65sylan9eq 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A `
 j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  (
( C `  j
)  e.  CC  /\  ( D `  j )  e.  CC ) )  /\  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  ->  ( T  x.  ( ( ( C `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
67663impa 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( ( C `
 j )  e.  CC  /\  ( D `
 j )  e.  CC )  /\  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )  -> 
( T  x.  (
( ( C `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6822, 27, 11, 15, 60, 67syl221anc 1229 . . . 4  |-  ( ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( T  x.  ( ( ( C `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
6968sumeq2dv 13183 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( T  x.  ( ( ( C `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( ( B `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  ( ( ( A `  j
)  -  ( D `
 j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
7050, 69eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  j )  -  ( D `  j )
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( T  x.  ( ( ( C `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 ) ) )
7118, 70eqtr4d 2478 1  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 j )  -  ( D `  j ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) )  -  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( D `  j ) ) ^
2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   CCcc 9283   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    <_ cle 9422    - cmin 9598   NNcn 10325   2c2 10374   [,]cicc 11306   ...cfz 11440   ^cexp 11868   sum_csu 13166   EEcee 23137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-ee 23140
This theorem is referenced by:  ax5seg  23187
  Copyright terms: Public domain W3C validator