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Theorem ax5seglem8 23182
Description: Lemma for ax5seg 23184. Use the weak deduction theorem to eliminate the hypotheses from ax5seglem7 23181. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem ax5seglem8
StepHypRef Expression
1 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  A
)  =  ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) )
21oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) ) )
32oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
)  =  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) )
43oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 ) )
5 oveq1 6098 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  -  C
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) )
65oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )
76oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( A  -  C
) ^ 2 ) )  =  ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) ) )
8 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  -  D
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) )
98oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) )
107, 9oveq12d 6109 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) )
1110oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
124, 11oveq12d 6109 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) )
1312eqeq2d 2454 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  <-> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) ) )
14 oveq1 6098 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) ) )
15 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( 1  -  T
)  =  ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) ) )
1615oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ) )
17 oveq1 6098 . . . . . . 7  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  C
)  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )
1816, 17oveq12d 6109 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( T  x.  C
) )  =  ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) ) )
1918oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) )
2019oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^
2 ) )
21 oveq1 6098 . . . . . 6  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( T  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) ) )
2221oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )
2315, 22oveq12d 6109 . . . 4  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
2420, 23oveq12d 6109 . . 3  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) ) )
2514, 24eqeq12d 2457 . 2  |-  ( T  =  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  -> 
( ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  C
) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
26 oveq1 6098 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( C  -  D
)  =  ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) )
2726oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( C  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) )
2827oveq2d 6107 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^ 2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) )
29 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )
3029oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  =  ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ) )
3130oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) )
3231oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 ) )
33 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )
3433oveq1d 6106 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )
3534oveq2d 6107 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
3635oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )
3736oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) )
3832, 37oveq12d 6109 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) ) ) )
3928, 38eqeq12d 2457 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^ 2 ) ) ) )  <-> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) ) )
40 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D )  =  ( if ( C  e.  CC ,  C , 
0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4140oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
4241oveq2d 6107 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
43 oveq2 6099 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D )  =  ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4443oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
45 oveq2 6099 . . . . . . 7  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) )
4645oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )
4746oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) )
4847oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  D ) ^
2 ) ) )  =  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
4944, 48oveq12d 6109 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
5042, 49eqeq12d 2457 . 2  |-  ( D  =  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  -> 
( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T , 
0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C , 
0 ) ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T , 
0 )  x.  (
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  <->  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
51 0cn 9378 . . . 4  |-  0  e.  CC
5251elimel 3852 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
5351elimel 3852 . . 3  |-  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  e.  CC
5451elimel 3852 . . 3  |-  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  e.  CC
5551elimel 3852 . . 3  |-  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 )  e.  CC
5652, 53, 54, 55ax5seglem7 23181 . 2  |-  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( C  e.  CC ,  C ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) )  +  ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  if ( T  e.  CC ,  T ,  0 ) )  x.  ( ( if ( T  e.  CC ,  T ,  0 )  x.  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( C  e.  CC ,  C ,  0 ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -  if ( D  e.  CC ,  D ,  0 ) ) ^ 2 ) ) ) )
5713, 25, 39, 50, 56dedth4h 3844 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC ) )  -> 
( T  x.  (
( C  -  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3791  (class class class)co 6091   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    - cmin 9595   2c2 10371   ^cexp 11865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-seq 11807  df-exp 11866
This theorem is referenced by:  ax5seglem9  23183
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