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Theorem ax5seglem7 24216
Description: Lemma for ax5seg 24219. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ax5seglem7.1  |-  A  e.  CC
ax5seglem7.2  |-  T  e.  CC
ax5seglem7.3  |-  C  e.  CC
ax5seglem7.4  |-  D  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ax5seglem7  |-  ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) ) ) )

Proof of Theorem ax5seglem7
StepHypRef Expression
1 ax5seglem7.3 . . . . 5  |-  C  e.  CC
2 ax5seglem7.4 . . . . 5  |-  D  e.  CC
31, 2binom2subi 12268 . . . 4  |-  ( ( C  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) )  +  ( D ^ 2 ) )
43oveq2i 6292 . . 3  |-  ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( T  x.  (
( ( C ^
2 )  -  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) )  +  ( D ^ 2 ) ) )
5 ax5seglem7.2 . . . 4  |-  T  e.  CC
61sqcli 12230 . . . . 5  |-  ( C ^ 2 )  e.  CC
7 2cn 10613 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
81, 2mulcli 9604 . . . . . 6  |-  ( C  x.  D )  e.  CC
97, 8mulcli 9604 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( C  x.  D ) )  e.  CC
106, 9subcli 9900 . . . 4  |-  ( ( C ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC
112sqcli 12230 . . . 4  |-  ( D ^ 2 )  e.  CC
125, 10, 11adddii 9609 . . 3  |-  ( T  x.  ( ( ( C ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( T  x.  ( ( C ^
2 )  -  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
135, 6, 9subdii 10012 . . . 4  |-  ( T  x.  ( ( C ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  =  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) ) )
1413oveq1i 6291 . . 3  |-  ( ( T  x.  ( ( C ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
154, 12, 143eqtri 2476 . 2  |-  ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( T  x.  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
16 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
1716, 5subcli 9900 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  T )  e.  CC
18 ax5seglem7.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  CC
1917, 18mulcli 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  T )  x.  A )  e.  CC
2019sqcli 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  e.  CC
215, 1mulcli 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  x.  C )  e.  CC
2221, 2subcli 9900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  x.  C )  -  D )  e.  CC
2319, 22mulcli 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  e.  CC
247, 23mulcli 9604 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) )  e.  CC
2520, 24addcli 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  e.  CC
2621sqcli 12230 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  e.  CC
2726, 11addcli 9603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) )  e.  CC
2825, 27addcli 9603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  CC
2921, 2mulcli 9604 . . . . . . 7  |-  ( ( T  x.  C )  x.  D )  e.  CC
307, 29mulcli 9604 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) )  e.  CC
315, 6mulcli 9604 . . . . . . 7  |-  ( T  x.  ( C ^
2 ) )  e.  CC
325, 11mulcli 9604 . . . . . . 7  |-  ( T  x.  ( D ^
2 ) )  e.  CC
3331, 32addcli 9603 . . . . . 6  |-  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  e.  CC
34 subadd23 9837 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  x.  D ) )  e.  CC  /\  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  x.  D ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) ) ) )
3528, 30, 33, 34mp3an 1325 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )
3635oveq1i 6291 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
3719, 22binom2i 12259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C )  -  D
) ^ 2 ) )
3819, 21, 2addsubassi 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( T  x.  C ) )  -  D )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( ( T  x.  C
)  -  D ) )
3938oveq1i 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ^ 2 )
4025, 27, 30addsubassi 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )
4121, 2binom2subi 12268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  x.  C
)  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  x.  D ) ) )  +  ( D ^ 2 ) )
4226, 11, 30addsubi 9917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  x.  D ) ) )  +  ( D ^ 2 ) )
4341, 42eqtr4i 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  x.  C
)  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )
4443oveq2i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C )  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )
4540, 44eqtr4i 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C )  -  D
) ^ 2 ) )
4637, 39, 453eqtr4i 2482 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )
4718, 1binom2subi 12268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  +  ( C ^ 2 ) )
4847oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  =  ( T  x.  (
( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )
4918sqcli 12230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 2 )  e.  CC
5018, 1mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  x.  C )  e.  CC
517, 50mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( A  x.  C ) )  e.  CC
5249, 51subcli 9900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  e.  CC
535, 52, 6adddii 9609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  +  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  +  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )
5448, 53eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  =  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  +  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )
5518, 2binom2subi 12268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  -  D ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) )  +  ( D ^ 2 ) )
5654, 55oveq12i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  +  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )  +  ( D ^
2 ) ) )
575, 52mulcli 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  e.  CC
5818, 2mulcli 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  x.  D )  e.  CC
597, 58mulcli 9604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  ( A  x.  D ) )  e.  CC
6049, 59subcli 9900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  e.  CC
6157, 31, 60, 11addsub4i 9921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  +  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) ) )
6256, 61eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) ) )
6362oveq2i 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) ) ) )
6457, 60subcli 9900 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) )  e.  CC
6531, 11subcli 9900 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) )  e.  CC
6617, 64, 65adddii 9609 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
6716, 5, 65subdiri 10013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  (
( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) ) )  -  ( T  x.  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )
6865mulid2i 9602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  x.  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) )
695, 31, 11subdii 10012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  x.  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )
7068, 69oveq12i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  x.  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) ) )  -  ( T  x.  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )
715, 31mulcli 9604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC
72 subsub3 9856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( T  x.  ( D ^
2 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  -  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
7365, 71, 32, 72mp3an 1325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) )  -  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
7431, 32, 11addsubi 9917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( D ^ 2 ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
7574oveq1i 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( D ^
2 ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
76 subsub4 9857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  e.  CC  /\  ( D ^ 2 )  e.  CC  /\  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( D ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
7733, 11, 71, 76mp3an 1325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( D ^
2 ) )  -  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
7873, 75, 773eqtr2i 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^
2 ) )  -  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
7967, 70, 783eqtri 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) )
8079oveq2i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
8117, 64mulcli 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  e.  CC
8211, 71addcli 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  CC
83 addsub12 9838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  e.  CC  /\  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
8481, 33, 82, 83mp3an 1325 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
8580, 84eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) ) )
8663, 66, 853eqtri 2476 . . . . . 6  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^
2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
8746, 86oveq12i 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  x.  D ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) ) ) )
8828, 30subcli 9900 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) )  e.  CC
8981, 82subcli 9900 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) )  e.  CC
9088, 33, 89addassi 9607 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9187, 90eqtr4i 2475 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) )  +  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
9233, 30subcli 9900 . . . . 5  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  e.  CC
9328, 89, 92add32i 9802 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^
2 ) ) )  -  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D
) ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) ) )
9436, 91, 933eqtr4i 2482 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  (
( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )
95 subsub2 9852 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) )  e.  CC  /\  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) ) )
9628, 82, 81, 95mp3an 1325 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )
9725, 26, 11addassi 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^ 2 ) )  +  ( D ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
9825, 26addcomi 9774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^
2 ) )  =  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) ) )
995, 1sqmuli 12233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  =  ( ( T ^
2 )  x.  ( C ^ 2 ) )
1005sqvali 12229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T ^ 2 )  =  ( T  x.  T
)
101100oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T ^ 2 )  x.  ( C ^
2 ) )  =  ( ( T  x.  T )  x.  ( C ^ 2 ) )
1025, 5, 6mulassi 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  x.  T )  x.  ( C ^
2 ) )  =  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )
10399, 101, 1023eqtri 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  =  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )
10417, 18sqmuli 12233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  -  T ) ^
2 )  x.  ( A ^ 2 ) )
10517sqvali 12229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  -  T ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
1  -  T ) )
106105oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  -  T
) ^ 2 )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( 1  -  T
) )  x.  ( A ^ 2 ) )
10717, 17, 49mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( 1  -  T ) )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( 1  -  T
)  x.  ( A ^ 2 ) ) )
10816, 5, 49subdiri 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( ( 1  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )
10949mulid2i 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 )
110109oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) )
111108, 110eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( ( A ^
2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )
112111oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( 1  -  T )  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) ) )
113107, 112eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( 1  -  T ) )  x.  ( A ^
2 ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) ) )
114104, 106, 1133eqtri 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) ) )
1157, 19, 22mul12i 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) )
1167, 22mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  e.  CC
11717, 18, 116mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A  x.  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )
11818, 7mulcomi 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  x.  2 )  =  ( 2  x.  A
)
119118oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  x.  2 )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) )
12018, 7, 22mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  x.  2 )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) )
121119, 120eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  =  ( A  x.  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) )
1227, 18mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  x.  A )  e.  CC
123122, 21, 2subdii 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( T  x.  C
) )  -  (
( 2  x.  A
)  x.  D ) )
124122, 5, 1mul12i 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( T  x.  C ) )  =  ( T  x.  (
( 2  x.  A
)  x.  C ) )
1257, 18, 1mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  C )  =  ( 2  x.  ( A  x.  C )
)
126125oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( T  x.  ( ( 2  x.  A )  x.  C ) )  =  ( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )
127124, 126eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( T  x.  C ) )  =  ( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )
1287, 18, 2mulassi 9608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  D )  =  ( 2  x.  ( A  x.  D )
)
129127, 128oveq12i 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( T  x.  C ) )  -  ( ( 2  x.  A )  x.  D ) )  =  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) )
130123, 129eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) )  =  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) )
131121, 130eqtr3i 2474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) )  =  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) )
132131oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( A  x.  ( 2  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) )
133115, 117, 1323eqtri 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) )
134114, 133oveq12i 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( A ^
2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) )
1355, 49mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  x.  ( A ^
2 ) )  e.  CC
13649, 135subcli 9900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  e.  CC
1375, 51mulcli 9604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  e.  CC
138137, 59subcli 9900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  e.  CC
13917, 136, 138adddii 9609 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( ( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) ) )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )
1405, 49, 51subdii 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  =  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
141140oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )  -  ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) )  -  (
( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
142140, 57eqeltrri 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  e.  CC
143 sub32 9858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  e.  CC  /\  (
2  x.  ( A  x.  D ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  -  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) ) )
14449, 142, 59, 143mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) )  -  (
( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
145141, 144eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )  -  ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )
146 subsub 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( A ^
2 )  -  (
( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
14749, 135, 137, 146mp3an 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A ^ 2 )  -  ( ( T  x.  ( A ^
2 ) )  -  ( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )
148147oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( ( T  x.  ( A ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )
149136, 137, 59addsubassi 9916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) )
150145, 148, 1493eqtrri 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^
2 ) ) )  +  ( ( T  x.  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) )  -  ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) )
151150oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( T  x.  ( A ^ 2 ) ) )  +  ( ( T  x.  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  =  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) )  -  ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) ) )
152134, 139, 1513eqtr2i 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) )  -  ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) ) )
15357, 60negsubdi2i 9911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) )  -  ( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) ) )
154153oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  T )  x.  -u ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) )  -  ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) ) ) )
15517, 64mulneg2i 10010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  T )  x.  -u ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  = 
-u ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )
156152, 154, 1553eqtr2i 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  = 
-u ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )
157103, 156oveq12i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) ) )  =  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  +  -u (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) )
15871, 81negsubi 9902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) )  +  -u ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) )  =  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) )
15998, 157, 1583eqtri 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^
2 ) )  =  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) )
160159oveq2i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( D ^ 2 )  +  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( D ^
2 )  +  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) ) )
16125, 26addcli 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^
2 ) )  e.  CC
162161, 11addcomi 9774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^ 2 ) )  +  ( D ^
2 ) )  =  ( ( D ^
2 )  +  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^ 2 ) ) )
16311, 71, 81addsubassi 9916 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) ) )  =  ( ( D ^ 2 )  +  ( ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) ) )
164160, 162, 1633eqtr4i 2482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( T  x.  C ) ^ 2 ) )  +  ( D ^
2 ) )  =  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) )
16597, 164eqtr3i 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D
) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) )
16682, 81subcli 9900 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) ) )  e.  CC
16728, 166subeq0i 9904 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  (
( T  x.  (
( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C ) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D
) ) ) ) ) ) )  =  0  <->  ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  x.  (
( T  x.  C
)  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^
2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) ) ) )
168165, 167mpbir 209 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  -  ( ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) ) ) )  =  0
16996, 168eqtr3i 2474 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( ( 1  -  T
)  x.  A )  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C
) ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C )
) ) )  -  ( ( A ^
2 )  -  (
2  x.  ( A  x.  D ) ) ) ) )  -  ( ( D ^
2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) ) )  =  0
1705, 1, 2mulassi 9608 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  x.  C )  x.  D )  =  ( T  x.  ( C  x.  D )
)
171170oveq2i 6292 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) )  =  ( 2  x.  ( T  x.  ( C  x.  D ) ) )
1727, 5, 8mul12i 9778 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( T  x.  ( C  x.  D
) ) )  =  ( T  x.  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) )
173171, 172eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) )  =  ( T  x.  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) )
174173oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D ) ) ) )
1755, 9mulcli 9604 . . . . . 6  |-  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) )  e.  CC
17631, 32, 175addsubi 9917 . . . . 5  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
177174, 176eqtri 2472 . . . 4  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
178169, 177oveq12i 6293 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( ( 1  -  T
)  x.  A ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( ( 1  -  T )  x.  A
)  x.  ( ( T  x.  C )  -  D ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  C ) ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  C
) ) ) )  -  ( ( A ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( A  x.  D )
) ) ) )  -  ( ( D ^ 2 )  +  ( T  x.  ( T  x.  ( C ^ 2 ) ) ) ) ) )  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  -  (
2  x.  ( ( T  x.  C )  x.  D ) ) ) )  =  ( 0  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )
17931, 175subcli 9900 . . . . 5  |-  ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  e.  CC
180179, 32addcli 9603 . . . 4  |-  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )  e.  CC
181180addid2i 9771 . . 3  |-  ( 0  +  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D )
) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^ 2 ) )  -  ( T  x.  ( 2  x.  ( C  x.  D
) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
18294, 178, 1813eqtri 2476 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A )  +  ( T  x.  C
) )  -  D
) ^ 2 )  +  ( ( 1  -  T )  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  (
( A  -  D
) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( T  x.  ( C ^
2 ) )  -  ( T  x.  (
2  x.  ( C  x.  D ) ) ) )  +  ( T  x.  ( D ^ 2 ) ) )
18315, 182eqtr4i 2475 1  |-  ( T  x.  ( ( C  -  D ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( 1  -  T )  x.  A
)  +  ( T  x.  C ) )  -  D ) ^
2 )  +  ( ( 1  -  T
)  x.  ( ( T  x.  ( ( A  -  C ) ^ 2 ) )  -  ( ( A  -  D ) ^
2 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   -ucneg 9811   2c2 10592   ^cexp 12148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-seq 12090  df-exp 12149
This theorem is referenced by:  ax5seglem8  24217
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