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Theorem ax5seglem3 23180
Description: Lemma for ax5seg 23187. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   D, i, j   i, E, j   i, F, j   i, N, j   S, i, j   T, i, j
Proof of Theorem ax5seglem3
StepHypRef Expression
1 1re 9388 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
2 0re 9389 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
32, 1elicc2i 11364 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( T e. RR /\ 0 <_ T /\ T <_ 1 ) )
43simp1bi 1003 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. RR )
5 resubcl 9676 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
61, 4, 5sylancr 663 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - T ) e. RR )
76ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 - T ) e. RR )
873ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9 fzfid 11798 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10 ax5seglem3a 23179 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR /\ ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR ) )
1110simpld 459 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR )
1211resqcld 12037 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
139, 12fsumrecl 13214 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
1411sqge0d 12038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
159, 12, 14fsumge0 13261 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
1613, 15resqrcld 12907 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
17163ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
188, 17remulcld 9417 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
192, 1elicc2i 11364 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( S e. RR /\ 0 <_ S /\ S <_ 1 ) )
2019simp1bi 1003 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S e. RR )
21 resubcl 9676 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ S e. RR ) -> ( 1 - S ) e. RR )
221, 20, 21sylancr 663 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - S ) e. RR )
2322ad2antlr 726 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 - S ) e. RR )
24233ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - S ) e. RR )
2510simprd 463 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR )
2625resqcld 12037 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
279, 26fsumrecl 13214 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
2825sqge0d 12038 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
299, 26, 28fsumge0 13261 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
3027, 29resqrcld 12907 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
31303ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
3224, 31remulcld 9417 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
333simp3bi 1005 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T <_ 1 )
34 subge0 9855 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - T ) <-> T <_ 1 ) )
351, 4, 34sylancr 663 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 <_ ( 1 - T ) <-> T <_ 1 ) )
3633, 35mpbird 232 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
3736ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
38373ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
3913, 15sqrge0d 12910 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
40393ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
418, 17, 38, 40mulge0d 9919 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
4219simp3bi 1005 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S <_ 1 )
43 subge0 9855 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ S e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - S ) <-> S <_ 1 ) )
441, 20, 43sylancr 663 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 <_ ( 1 - S ) <-> S <_ 1 ) )
4542, 44mpbird 232 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
4645ad2antlr 726 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
47463ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
4827, 29sqrge0d 12910 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
49483ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5024, 31, 47, 49mulge0d 9919 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
51 resqrth 12748 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
5213, 15, 51syl2anc 661 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
53523ad2ant1 1009 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
5453oveq2d 6110 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
55 ax-1cn 9343 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
564recnd 9415 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. CC )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> T e. CC )
58573ad2ant2 1010 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. CC )
59 subcl 9612 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
6055, 58, 59sylancr 663 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - T ) e. CC )
6116recnd 9415 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
62613ad2ant1 1009 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
6360, 62sqmuld 12023 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
64 resqrth 12748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
6527, 29, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
66653ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
6766oveq2d 6110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
6820recnd 9415 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S e. CC )
6968ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> S e. CC )
70693ad2ant2 1010 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. CC )
71 subcl 9612 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 1 - S ) e. CC )
7255, 70, 71sylancr 663 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - S ) e. CC )
7330recnd 9415 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
74733ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
7572, 74sqmuld 12023 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76 simp3r 1017 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. E , F >. )
77 simp122 1121 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
78 simp123 1122 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
79 simp132 1124 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
80 simp133 1125 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
81 brcgr 23149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. E , F >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8277, 78, 79, 80, 81syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. E , F >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8376, 82mpbid 210 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
84 simp11 1018 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> N e. NN )
85 simp121 1120 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
86 simp2ll 1055 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. ( 0 [,] 1 ) )
87 simp2rl 1057 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) )
88 ax5seglem2 23178 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8984, 85, 78, 86, 87, 88syl122anc 1227 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
90 simp131 1123 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
91 simp2lr 1056 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. ( 0 [,] 1 ) )
92 simp2rr 1058 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) )
93 ax5seglem2 23178 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( S e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9484, 90, 80, 91, 92, 93syl122anc 1227 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9583, 89, 943eqtr3d 2483 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9667, 75, 953eqtr4d 2485 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9754, 63, 963eqtr4d 2485 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9818, 32, 41, 50, 97sq11d 12047 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
994ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> T e. RR )
100993ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. RR )
101100, 17remulcld 9417 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
10220ad2antlr 726 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> S e. RR )
1031023ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. RR )
104103, 31remulcld 9417 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
1053simp2bi 1004 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ T )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ T )
1071063ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ T )
108100, 17, 107, 40mulge0d 9919 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
10919simp2bi 1004 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ S )
110109ad2antlr 726 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ S )
1111103ad2ant2 1010 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ S )
112103, 31, 111, 49mulge0d 9919 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
11352oveq2d 6110 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
1141133ad2ant1 1009 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
11558, 62sqmuld 12023 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
11666oveq2d 6110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( S ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
11770, 74sqmuld 12023 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
118 simp3l 1016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> <. A , B >.Cgr <. D , E >. )
119 brcgr 23149 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) ) )
12085, 77, 90, 79, 119syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1