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Theorem ax5seglem1 24945
Description: Lemma for ax5seg 24955. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1058 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 fveecn 24919 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
31, 2sylancom 671 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
4 simpl2r 1059 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 fveecn 24919 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
64, 5sylancom 671 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7 0re 9644 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
8 1re 9643 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
97, 8elicc2i 11701 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
109simp1bi 1020 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  T  e.  RR )
12113ad2ant3 1028 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  RR )
1312recnd 9670 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
1413adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
15 fveq2 5878 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
16 fveq2 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
1716oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
18 fveq2 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
1918oveq2d 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
2017, 19oveq12d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2115, 20eqeq12d 2444 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
2221rspccva 3181 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2322adantll 718 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
24233ad2antl3 1169 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
25 oveq2 6310 . . . . . 6  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
2625oveq1d 6317 . . . . 5  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) ) ^
2 ) )
27 subdi 10053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
28273coml 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
29 ax-1cn 9598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
30 subcl 9875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
3129, 30mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
3231adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
33 simpl 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j
)  e.  CC )
34 subdir 10054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3529, 34mp3an1 1347 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
37 nncan 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
3829, 37mpan 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  T ) )  =  T )
3938oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( A `
 j ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
41 mulid2 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( A `
 j ) )  =  ( A `  j ) )
4241oveq1d 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) ) )
4342adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A `  j
) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( ( A `  j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
4436, 40, 433eqtr3rd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4544oveq1d 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
46453adant2 1024 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
47 simp1 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
48 mulcl 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
4931, 48sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
5049ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
51503adant2 1024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  e.  CC )
52 mulcl 9624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
5352ancoms 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
54533adant1 1023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j ) )  e.  CC )
5547, 51, 54subsub4d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
5628, 46, 553eqtr2rd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  =  ( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) )
5756oveq1d 6317 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T  x.  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ) ^ 2 ) )
58 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  T  e.  CC )
59 subcl 9875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  CC )
60593adant3 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  CC )
6158, 60sqmuld 12428 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6257, 61eqtrd 2463 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6326, 62sylan9eqr 2485 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( B `  j
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  -> 
( ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
643, 6, 14, 24, 63syl31anc 1267 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
6564sumeq2dv 13757 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
66 fzfid 12186 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
6710resqcld 12442 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  RR )
6867recnd 9670 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
6968adantr 466 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( T ^ 2 )  e.  CC )
70693ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
7123adant1 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
72713adant2r 1259 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
7353adant1 1023 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
74733adant2l 1258 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7572, 74, 59syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
7675sqcld 12414 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  CC )
77763expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  CC )
78773adantl3 1163 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7966, 70, 78fsummulc2 13833 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
8065, 79eqtr4d 2466 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   class class class wbr 4420   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   CCcc 9538   RRcr 9539   0cc0 9540   1c1 9541    + caddc 9543    x. cmul 9545    <_ cle 9677    - cmin 9861   NNcn 10610   2c2 10660   [,]cicc 11639   ...cfz 11785   ^cexp 12272   sum_csu 13740   EEcee 24905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-pre-sup 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-div 10271  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-rp 11304  df-icc 11643  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13151  df-re 13152  df-im 13153  df-sqrt 13287  df-abs 13288  df-clim 13540  df-sum 13741  df-ee 24908
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  24948  ax5seglem6  24951
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