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Theorem ax5seglem1 23125
Description: Lemma for ax5seg 23135. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1041 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 fveecn 23099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
31, 2sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
4 simpl2r 1042 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 fveecn 23099 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
64, 5sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7 0re 9378 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
8 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
97, 8elicc2i 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
109simp1bi 1003 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  T  e.  RR )
12113ad2ant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  RR )
1312recnd 9404 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
15 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
16 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
1716oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
18 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
1918oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
2017, 19oveq12d 6104 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2115, 20eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
2221rspccva 3067 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2322adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
24233ad2antl3 1152 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
25 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
2625oveq1d 6101 . . . . 5  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) ) ^
2 ) )
27 subdi 9770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
28273coml 1194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
29 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
30 subcl 9601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
3129, 30mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
3231adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j
)  e.  CC )
34 subdir 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3529, 34mp3an1 1301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
37 nncan 9630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
3829, 37mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  T ) )  =  T )
3938oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( A `
 j ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
41 mulid2 9376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( A `
 j ) )  =  ( A `  j ) )
4241oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A `  j
) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( ( A `  j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
4436, 40, 433eqtr3rd 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4544oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
46453adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
47 simp1 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
48 mulcl 9358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
4931, 48sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
5049ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
51503adant2 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  e.  CC )
52 mulcl 9358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
5352ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
54533adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j ) )  e.  CC )
5547, 51, 54subsub4d 9742 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
5628, 46, 553eqtr2rd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  =  ( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) )
5756oveq1d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T  x.  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ) ^ 2 ) )
58 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  T  e.  CC )
59 subcl 9601 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  CC )
60593adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  CC )
6158, 60sqmuld 12012 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6257, 61eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6326, 62sylan9eqr 2492 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( B `  j
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  -> 
( ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
643, 6, 14, 24, 63syl31anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
6564sumeq2dv 13172 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
66 fzfid 11787 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
6710resqcld 12026 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  RR )
6867recnd 9404 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
6968adantr 465 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( T ^ 2 )  e.  CC )
70693ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
7123adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
72713adant2r 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
7353adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
74733adant2l 1212 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7572, 74, 59syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
7675sqcld 11998 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  CC )
77763expa 1187 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  CC )
78773adantl3 1146 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7966, 70, 78fsummulc2 13243 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
8065, 79eqtr4d 2473 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   [,]cicc 11295   ...cfz 11429   ^cexp 11857   sum_csu 13155   EEcee 23085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-ee 23088
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  23128  ax5seglem6  23131
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