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Theorem ax5seglem1 24635
Description: Lemma for ax5seg 24645. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j    B, i, j    C, i, j    i, N, j    T, i, j

Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1050 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  A  e.  ( EE `  N ) )
2 fveecn 24609 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
31, 2sylancom 665 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
4 simpl2r 1051 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  C  e.  ( EE `  N ) )
5 fveecn 24609 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
64, 5sylancom 665 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7 0re 9625 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
8 1re 9624 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
97, 8elicc2i 11642 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( T  e.  RR  /\  0  <_  T  /\  T  <_  1
) )
109simp1bi 1012 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  T  e.  RR )
1110adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  ->  T  e.  RR )
12113ad2ant3 1020 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  RR )
1312recnd 9651 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
1413adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  T  e.  CC )
15 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
16 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( A `  i )  =  ( A `  j ) )
1716oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) )
18 fveq2 5848 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( C `  i )  =  ( C `  j ) )
1918oveq2d 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  ( T  x.  ( C `  i ) )  =  ( T  x.  ( C `  j )
) )
2017, 19oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2115, 20eqeq12d 2424 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  <->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) )
2221rspccva 3158 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
2322adantll 712 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
24233ad2antl3 1161 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )
25 oveq2 6285 . . . . . 6  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
2625oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( B `  j )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( B `  j )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j )
) ) ) ^
2 ) )
27 subdi 10030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
28273coml 1204 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
29 ax-1cn 9579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
30 subcl 9854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
3129, 30mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  T )  e.  CC )
3231adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
33 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j
)  e.  CC )
34 subdir 10031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3529, 34mp3an1 1313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( ( 1  x.  ( A `
 j ) )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
37 nncan 9883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( 1  -  (
1  -  T ) )  =  T )
3829, 37mpan 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  CC  ->  (
1  -  ( 1  -  T ) )  =  T )
3938oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  CC  ->  (
( 1  -  (
1  -  T ) )  x.  ( A `
 j ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  ( 1  -  T
) )  x.  ( A `  j )
)  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
41 mulid2 9623 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( A `
 j ) )  =  ( A `  j ) )
4241oveq1d 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  j )  e.  CC  ->  (
( 1  x.  ( A `  j )
)  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) ) )
4342adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A `  j
) )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( ( A `  j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) ) ) )
4436, 40, 433eqtr3rd 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  =  ( T  x.  ( A `  j ) ) )
4544oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( ( A `
 j )  -  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
46453adant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( T  x.  ( A `  j ) )  -  ( T  x.  ( C `  j )
) ) )
47 simp1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
48 mulcl 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  -  T
)  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
4931, 48sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( A `  j )  e.  CC )  -> 
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
5049ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  e.  CC )
51503adant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  e.  CC )
52 mulcl 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
5352ancoms 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j )
)  e.  CC )
54533adant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  ( T  x.  ( C `  j ) )  e.  CC )
5547, 51, 54subsub4d 9997 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) ) )  -  ( T  x.  ( C `  j ) ) )  =  ( ( A `
 j )  -  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j
) )  +  ( T  x.  ( C `
 j ) ) ) ) )
5628, 46, 553eqtr2rd 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  =  ( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) )
5756oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T  x.  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ) ^ 2 ) )
58 simp3 999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  T  e.  CC )
59 subcl 9854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC )  -> 
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
)  e.  CC )
60593adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) )  e.  CC )
6158, 60sqmuld 12364 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( T  x.  (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6257, 61eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  j
)  e.  CC  /\  ( C `  j )  e.  CC  /\  T  e.  CC )  ->  (
( ( A `  j )  -  (
( ( 1  -  T )  x.  ( A `  j )
)  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
6326, 62sylan9eqr 2465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A `  j )  e.  CC  /\  ( C `  j
)  e.  CC  /\  T  e.  CC )  /\  ( B `  j
)  =  ( ( ( 1  -  T
)  x.  ( A `
 j ) )  +  ( T  x.  ( C `  j ) ) ) )  -> 
( ( ( A `
 j )  -  ( B `  j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) ) ^ 2 ) ) )
643, 6, 14, 24, 63syl31anc 1233 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( B `
 j ) ) ^ 2 )  =  ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
6564sumeq2dv 13672 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 ) ) )
66 fzfid 12122 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
6710resqcld 12378 . . . . . 6  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  RR )
6867recnd 9651 . . . . 5  |-  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
6968adantr 463 . . . 4  |-  ( ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) )  -> 
( T ^ 2 )  e.  CC )
70693ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  ( T ^ 2 )  e.  CC )
7123adant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  A  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
72713adant2r 1225 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
7353adant1 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
74733adant2l 1224 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  j )  e.  CC )
7572, 74, 59syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( A `
 j )  -  ( C `  j ) )  e.  CC )
7675sqcld 12350 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 )  e.  CC )
77763expa 1197 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 )  e.  CC )
78773adantl3 1155 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( T  x.  ( C `  i )
) ) ) )  /\  j  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( (
( A `  j
)  -  ( C `
 j ) ) ^ 2 )  e.  CC )
7966, 70, 78fsummulc2 13748 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  (
( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ j  e.  ( 1 ... N ) ( ( T ^
2 )  x.  (
( ( A `  j )  -  ( C `  j )
) ^ 2 ) ) )
8065, 79eqtr4d 2446 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( A  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( T  e.  (
0 [,] 1 )  /\  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( T  x.  ( C `  i ) ) ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( B `  j ) ) ^
2 )  =  ( ( T ^ 2 )  x.  sum_ j  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  j )  -  ( C `  j ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   2c2 10625   [,]cicc 11584   ...cfz 11724   ^cexp 12208   sum_csu 13655   EEcee 24595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-ee 24598
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  24638  ax5seglem6  24641
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