Theorem ax1id 5347

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	|- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5305	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 4026	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. x. 1) = (A x. 1))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1536	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. x. 1) = <.x, y>. <-> (A x. 1) = A))
5		1r 5255	. . . . . 6 |- 1R e. R.
6		0r 5254	. . . . . 6 |- 0R e. R.
7	5, 6	pm3.2i 292	. . . . 5 |- (1R e. R. /\ 0R e. R.)
8		mulcnsr 5319	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (1R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
9	7, 8	mpan2 708	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>.)
10		00sr 5273	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> (y .R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 4034	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = (-1R .R 0R))
12		m1r 5256	. . . . . . . . 9 |- -1R e. R.
13		00sr 5273	. . . . . . . . 9 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- (-1R .R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1570	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (-1R .R (y .R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 4034	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = ((x .R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5272	. . . . . . . 8 |- (x e. R. -> (x .R 1R) = x)
18	17	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5271	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1554	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((x .R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1576	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))) = x)
22		00sr 5273	. . . . . . 7 |- (x e. R. -> (x .R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 4034	. . . . . 6 |- (x e. R. -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = ((y .R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5272	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> (y .R 1R) = y)
25	24	opreq1d 4033	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5271	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1554	. . . . . 6 |- (y e. R. -> ((y .R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1574	. . . . 5 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> ((y .R 1R) +R (x .R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2549	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.((x .R 1R) +R (-1R .R (y .R 0R))), ((y .R 1R) +R (x .R 0R))>. = <.x, y>.)
30	9, 29	eqtrd 1554	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.) = <.x, y>.)
31		df-1 5307	. . . 4 |- 1 = <.1R, 0R>.
32	31	opreq2i 4030	. . 3 |- (<.x, y>. x. 1) = (<.x, y>. x. <.1R, 0R>.)
33	30, 32	syl5eq 1566	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. x. 1) = <.x, y>.)
34	1, 4, 33	optocl 3292	1 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  <.cop 2463  (class class class)co 4021  R.cnr 5058  0Rc0r 5059  1Rc1r 5060  -1Rcm1r 5061   +R cplr 5062   .R cmr 5063  CCcc 5297  1c1 5300   x. cmul 5304

This theorem is referenced by:  mulid1 5376  mulid1i 5397  mulid2 5482  muladd11 5487  muleqadd 5765  divadddiv 5842  divdivmul 5853  conjmul 5855  mulgt1 5903  ltmulgt11 5904  lemulge11 5906  nnmulcl 6001  expadd 6685  expmul 6686  sq01 6740  bernneq 6741  crreczi 6831  facwordi 7034  faclbnd 7035  faclbnd2 7036  faclbnd4lem3 7040  faclbnd6 7044  facavg 7045  bcn0 7053  bcnp11 7055  binomlem1 7156  binomlem4 7159  arisumi 7316  geoseri 7324  efexp 7462  efnn0val 7463  cos01gt0 7569  absef 7575  cnring 8246  nmoub3i 8520  ipasslem2 8575  ubthlem10 8622  htthlem6 8709  sinper 8773  cosper 8774  nmopub2tALT 9916  nmfnleub2 9933  nmcopexlem5 10038  nmcfnexlem5 10067  nmopcoadji 10117  branmfn 10121

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-1 5307  df-mul 5311

Copyright terms: Public domain