MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1cn Structured version   Unicode version

Theorem ax1cn 9417
Description: 1 is a complex number. Axiom 2 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1cn 9441. (Contributed by NM, 12-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1cn  |-  1  e.  CC

Proof of Theorem ax1cn
StepHypRef Expression
1 axresscn 9416 . 2  |-  RR  C_  CC
2 df-1 9391 . . 3  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
3 1sr 9349 . . . 4  |-  1R  e.  R.
4 opelreal 9398 . . . 4  |-  ( <. 1R ,  0R >.  e.  RR  <->  1R  e.  R. )
53, 4mpbir 209 . . 3  |-  <. 1R ,  0R >.  e.  RR
62, 5eqeltri 2535 . 2  |-  1  e.  RR
71, 6sselii 3451 1  |-  1  e.  CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   <.cop 3981   R.cnr 9135   0Rc0r 9136   1Rc1r 9137   CCcc 9381   RRcr 9382   1c1 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-ec 7203  df-qs 7207  df-ni 9142  df-pli 9143  df-mi 9144  df-lti 9145  df-plpq 9178  df-mpq 9179  df-ltpq 9180  df-enq 9181  df-nq 9182  df-erq 9183  df-plq 9184  df-mq 9185  df-1nq 9186  df-rq 9187  df-ltnq 9188  df-np 9251  df-1p 9252  df-plp 9253  df-enr 9327  df-nr 9328  df-0r 9332  df-1r 9333  df-c 9389  df-1 9391  df-r 9393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator