MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax12wdemo Structured version   Unicode version

Theorem ax12wdemo 1881
Description: Example of an application of ax12w 1879 that results in an instance of ax-12 1905 for a contrived formula with mixed free and bound variables,  ( x  e.  y  /\  A. x
z  e.  x  /\  A. y A. z y  e.  x ), in place of  ph. The proof illustrates bound variable renaming with cbvalvw 1859 to obtain fresh variables to avoid distinct variable clashes. Uses only Tarski's FOL axiom schemes. (Contributed by NM, 14-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
ax12wdemo  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x ) ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z

Proof of Theorem ax12wdemo
Dummy variables  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1871 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  y  <->  y  e.  y ) )
2 elequ2 1873 . . . . 5  |-  ( x  =  w  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  w ) )
32cbvalvw 1859 . . . 4  |-  ( A. x  z  e.  x  <->  A. w  z  e.  w
)
43a1i 11 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. x  z  e.  x 
<-> 
A. w  z  e.  w ) )
5 elequ1 1871 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y  e.  x  <->  v  e.  x ) )
65albidv 1757 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  y  e.  x 
<-> 
A. z  v  e.  x ) )
76cbvalvw 1859 . . . 4  |-  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z 
v  e.  x )
8 elequ2 1873 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
v  e.  x  <->  v  e.  y ) )
98albidv 1757 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  v  e.  x 
<-> 
A. z  v  e.  y ) )
109albidv 1757 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A. v A. z  v  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  y ) )
117, 10syl5bb 260 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  y ) )
121, 4, 113anbi123d 1335 . 2  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  <->  ( y  e.  y  /\  A. w  z  e.  w  /\  A. v A. z  v  e.  y ) ) )
13 elequ2 1873 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  v ) )
147a1i 11 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  ( A. y A. z  y  e.  x  <->  A. v A. z  v  e.  x ) )
1513, 143anbi13d 1337 . 2  |-  ( y  =  v  ->  (
( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  <->  ( x  e.  v  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. v A. z  v  e.  x ) ) )
1612, 15ax12w 1879 1  |-  ( x  =  y  ->  ( A. y ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x )  ->  A. x ( x  =  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. x  z  e.  x  /\  A. y A. z  y  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982   A.wal 1435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-3an 984  df-ex 1660
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator