Theorem ax12wdemo 1920

Description: Example of an application of ax12w 1918 that results in an instance of ax-12 1944 for a contrived formula with mixed free and bound variables, ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ), in place of ph. The proof illustrates bound variable renaming with cbvalvw 1889 to obtain fresh variables to avoid distinct variable clashes. Uses only Tarski's FOL axiom schemes. (Contributed by NM, 14-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ax12wdemo	|- ( x = y -> ( A. y ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) -> A. x ( x = y -> ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem ax12wdemo

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 1905	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. y <-> y e. y ) )
2		elequ2 1912	. . . . 5 |- ( x = w -> ( z e. x <-> z e. w ) )
3	2	cbvalvw 1889	. . . 4 |- ( A. x z e. x <-> A. w z e. w )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( x = y -> ( A. x z e. x <-> A. w z e. w ) )
5		elequ1 1905	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y e. x <-> v e. x ) )
6	5	albidv 1778	. . . . 5 |- ( y = v -> ( A. z y e. x <-> A. z v e. x ) )
7	6	cbvalvw 1889	. . . 4 |- ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. x )
8		elequ2 1912	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( v e. x <-> v e. y ) )
9	8	albidv 1778	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. z v e. x <-> A. z v e. y ) )
10	9	albidv 1778	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. v A. z v e. x <-> A. v A. z v e. y ) )
11	7, 10	syl5bb 265	. . 3 |- ( x = y -> ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. y ) )
12	1, 4, 11	3anbi123d 1348	. 2 |- ( x = y -> ( ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) <-> ( y e. y /\ A. w z e. w /\ A. v A. z v e. y ) ) )
13		elequ2 1912	. . 3 |- ( y = v -> ( x e. y <-> x e. v ) )
14	7	a1i 11	. . 3 |- ( y = v -> ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. x ) )
15	13, 14	3anbi13d 1350	. 2 |- ( y = v -> ( ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) <-> ( x e. v /\ A. x z e. x /\ A. v A. z v e. x ) ) )
16	12, 15	ax12w 1918	1 |- ( x = y -> ( A. y ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) -> A. x ( x = y -> ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ w3a 991   A.wal 1453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-3an 993  df-ex 1675

This theorem is referenced by: (None)