Theorem ax12wdemo 1836

Description: Example of an application of ax12w 1834 that results in an instance of ax-12 1859 for a contrived formula with mixed free and bound variables, ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ), in place of ph. The proof illustrates bound variable renaming with cbvalvw 1814 to obtain fresh variables to avoid distinct variable clashes. Uses only Tarski's FOL axiom schemes. (Contributed by NM, 14-Apr-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ax12wdemo	|- ( x = y -> ( A. y ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) -> A. x ( x = y -> ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) ) ) )

Distinct variable group:   x, y, z

Proof of Theorem ax12wdemo

Dummy variables w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 1826	. . 3 |- ( x = y -> ( x e. y <-> y e. y ) )
2		elequ2 1828	. . . . 5 |- ( x = w -> ( z e. x <-> z e. w ) )
3	2	cbvalvw 1814	. . . 4 |- ( A. x z e. x <-> A. w z e. w )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( x = y -> ( A. x z e. x <-> A. w z e. w ) )
5		elequ1 1826	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y e. x <-> v e. x ) )
6	5	albidv 1718	. . . . 5 |- ( y = v -> ( A. z y e. x <-> A. z v e. x ) )
7	6	cbvalvw 1814	. . . 4 |- ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. x )
8		elequ2 1828	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( v e. x <-> v e. y ) )
9	8	albidv 1718	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A. z v e. x <-> A. z v e. y ) )
10	9	albidv 1718	. . . 4 |- ( x = y -> ( A. v A. z v e. x <-> A. v A. z v e. y ) )
11	7, 10	syl5bb 257	. . 3 |- ( x = y -> ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. y ) )
12	1, 4, 11	3anbi123d 1297	. 2 |- ( x = y -> ( ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) <-> ( y e. y /\ A. w z e. w /\ A. v A. z v e. y ) ) )
13		elequ2 1828	. . 3 |- ( y = v -> ( x e. y <-> x e. v ) )
14	7	a1i 11	. . 3 |- ( y = v -> ( A. y A. z y e. x <-> A. v A. z v e. x ) )
15	13, 14	3anbi13d 1299	. 2 |- ( y = v -> ( ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) <-> ( x e. v /\ A. x z e. x /\ A. v A. z v e. x ) ) )
16	12, 15	ax12w 1834	1 |- ( x = y -> ( A. y ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) -> A. x ( x = y -> ( x e. y /\ A. x z e. x /\ A. y A. z y e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 971   A.wal 1396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973  df-ex 1618

This theorem is referenced by: (None)