Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ax12olem3aAUX7 Unicode version

Theorem ax12olem3aAUX7 29163
Description: Lemma for ax12o 1976. Show the equivalence of an intermediate equivalent to ax12o 1976 with the conjunction of ax-12 1946 and a variant with negated equalities. (Contributed by NM, 29-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ax12olem3aAUX7  |-  ( (
ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) )  <->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )  /\  ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps ) ) ) )

Proof of Theorem ax12olem3aAUX7
StepHypRef Expression
1 sp 1759 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  ps  ->  -.  ps )
21con2i 114 . . . . 5  |-  ( ps 
->  -.  A. x  -.  ps )
32imim1i 56 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps )  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )
43imim2i 14 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) )  ->  ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) ) )
5 sp 1759 . . . . . 6  |-  ( A. y ps  ->  ps )
65imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps )  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  ps )
)
76con1d 118 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps )  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )
)
87imim2i 14 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) )  ->  ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps ) ) )
94, 8jca 519 . 2  |-  ( (
ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) )  ->  (
( ph  ->  ( ps 
->  A. y ps )
)  /\  ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )
) ) )
10 con1 122 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  ps ) )
1110imim1d 71 . . . . 5  |-  ( ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )  ->  (
( ps  ->  A. y ps )  ->  ( -. 
A. x  -.  ps  ->  A. y ps )
) )
1211com12 29 . . . 4  |-  ( ( ps  ->  A. y ps )  ->  ( ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps )
) )
1312imim3i 57 . . 3  |-  ( (
ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )  ->  ( ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )
)  ->  ( ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) ) ) )
1413imp 419 . 2  |-  ( ( ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps )
)  /\  ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps )
) )  ->  ( ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) ) )
159, 14impbii 181 1  |-  ( (
ph  ->  ( -.  A. x  -.  ps  ->  A. y ps ) )  <->  ( ( ph  ->  ( ps  ->  A. y ps ) )  /\  ( ph  ->  ( -.  ps  ->  A. x  -.  ps ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-11 1757
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1548
  Copyright terms: Public domain W3C validator