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Theorem ax12olem3OLD 1979
Description: Obsolete proof of ax12oOLD 1984 as of 30-Jan-2018. Lemma for ax12oOLD 1984. Show the equivalence of an intermediate equivalent to ax12o 1976 with the conjunction of ax-12 1946 and a variant with negated equalities. (Contributed by NM, 24-Dec-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12olem3OLD  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  <->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) ) ) )

Proof of Theorem ax12olem3OLD
StepHypRef Expression
1 sp 1759 . . . . . 6  |-  ( A. x  -.  y  =  z  ->  -.  y  =  z )
21con2i 114 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  -.  A. x  -.  y  =  z )
32imim1i 56 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)
43imim2i 14 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
) )
5 sp 1759 . . . . . 6  |-  ( A. x  y  =  z  ->  y  =  z )
65imim2i 14 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  y  =  z ) )
76con1d 118 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) )
87imim2i 14 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) )
94, 8jca 519 . 2  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  -> 
( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) ) )
10 con1 122 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z )  -> 
( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  y  =  z ) )
1110imim1d 71 . . . . 5  |-  ( ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z )  -> 
( ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) )
1211com12 29 . . . 4  |-  ( ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )  ->  (
( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
)  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
) )
1312imim3i 57 . . 3  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  ->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) ) )
1413imp 419 . 2  |-  ( ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z )
)  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) ) )
159, 14impbii 181 1  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  ( -.  A. x  -.  y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  <->  ( ( -.  x  =  y  ->  ( y  =  z  ->  A. x  y  =  z ) )  /\  ( -.  x  =  y  ->  ( -.  y  =  z  ->  A. x  -.  y  =  z
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546
This theorem is referenced by:  ax12olem4OLD  1980  ax12olem4wAUX7  29164  ax12olem4OLD7  29391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-11 1757
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-ex 1548
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