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Theorem ax12indalem 2252
Description: Lemma for ax12inda2 2254 and ax12inda 2255. (Contributed by NM, 24-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax12indalem.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax12indalem  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )

Proof of Theorem ax12indalem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21axc4i-o 2206 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 2210 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 2237 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 2208 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
1211adantr 465 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
13 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
14 aecom-o 2207 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
1514con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
16 aecom-o 2207 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. y  y  =  z )
1716con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  y )
18 axc9 1995 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
1918imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2015, 17, 19syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2120imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
2221adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
23 hbnae-o 2235 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
24 hba1-o 2205 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
2523, 24hban 1865 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
26 ax-c5 2191 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
27 ax12indalem.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2827imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2926, 28sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
3025, 29alimdh 1609 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
3113, 22, 30syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
32 ax-11 1781 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
33 hbnae-o 2235 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
34 hbnae-o 2235 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. x  -.  A. y  y  =  z )
3533, 34hban 1865 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
36 hbnae-o 2235 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
37 hbnae-o 2235 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. z  -.  A. y  y  =  z )
3836, 37hban 1865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
3938, 20nfdh 1814 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  =  y )
40 19.21t 1839 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4235, 41albidh 1643 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4332, 42syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4443ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4531, 44syld 44 . . 3  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4645exp31 604 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
4712, 46pm2.61ian 788 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   F/wnf 1590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-c5 2191  ax-c4 2192  ax-c7 2193  ax-c11 2195  ax-c9 2198
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1588  df-nf 1591
This theorem is referenced by:  ax12inda2  2254
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