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Theorem ax12indalem 35088
Description: Lemma for ax12inda2 35090 and ax12inda 35091. (Contributed by NM, 24-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax12indalem.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax12indalem  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )

Proof of Theorem ax12indalem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21axc4i-o 35042 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 237 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 35046 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 35073 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 268 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 35044 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 25 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
1211adantr 463 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z
)  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
13 simplr 753 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
14 aecom-o 35043 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  A. x  x  =  z )
1514con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  x )
16 aecom-o 35043 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. y  y  =  z )
1716con3i 135 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  -.  A. z 
z  =  y )
18 axc9 2052 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
) )
1918imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2015, 17, 19syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
2120imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
2221adantlr 712 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
23 hbnae-o 35071 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
24 hba1-o 35041 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
2523, 24hban 1939 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
26 ax-c5 35027 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
27 ax12indalem.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2827imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2926, 28sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
3025, 29alimdh 1646 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
3113, 22, 30syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
32 ax-11 1850 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
33 hbnae-o 35071 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
34 hbnae-o 35071 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. x  -.  A. y  y  =  z )
3533, 34hban 1939 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. x
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
36 hbnae-o 35071 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
37 hbnae-o 35071 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  A. z  -.  A. y  y  =  z )
3836, 37hban 1939 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z ) )
3938, 20nfdh 1887 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  =  y )
40 19.21t 1912 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4235, 41albidh 1683 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4332, 42syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4443ad2antrr 723 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4531, 44syld 44 . . 3  |-  ( ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
4645exp31 602 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
4712, 46pm2.61ian 788 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397   F/wnf 1624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-c5 35027  ax-c4 35028  ax-c7 35029  ax-c11 35031  ax-c9 35034
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-ex 1621  df-nf 1625
This theorem is referenced by:  ax12inda2  35090
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