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Theorem ax12inda2ALT 2256
Description: Alternate proof of ax12inda2 2257, slightly more direct and not requiring ax-c16 2203. (Contributed by NM, 4-May-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax12inda2.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax12inda2ALT  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Distinct variable group:    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem ax12inda2ALT
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21axc4i-o 2209 . . . . . . 7  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 237 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 2213 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 2240 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 268 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 2211 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 25 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
12 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
13 dveeq1-o 2245 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1413naecoms-o 2237 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1514imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
1615adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
17 hbnae-o 2238 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
18 hba1-o 2208 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
1917, 18hban 1869 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
20 ax-c5 2194 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
21 ax12inda2.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2221imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2320, 22sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2419, 23alimdh 1609 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2512, 16, 24syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
26 ax-11 1782 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
27 hbnae-o 2238 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
28 hbnae-o 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
2928, 14nfdh 1818 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  x  =  y )
30 19.21t 1843 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3227, 31albidh 1643 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3326, 32syl5ib 219 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3433ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3525, 34syld 44 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3635exp31 604 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
3711, 36pm2.61i 164 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   F/wnf 1590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-c5 2194  ax-c4 2195  ax-c7 2196  ax-c11 2198  ax-c9 2201
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1588  df-nf 1591
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