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Theorem ax12inda2ALT 32486
Description: Alternate proof of ax12inda2 32487, slightly more direct and not requiring ax-c16 32433. (Contributed by NM, 4-May-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ax12inda2.1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ax12inda2ALT  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Distinct variable group:    y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem ax12inda2ALT
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ph  ->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) )
21axc4i-o 32439 . . . . . . 7  |-  ( A. x ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
)
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
4 biidd 240 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ph  <->  ph ) )
54dral1-o 32443 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  <->  A. x ph ) )
65imbi2d 317 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. x ph ) ) )
76dral2-o 32470 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  A. z ph )  <->  A. x
( x  =  y  ->  A. x ph )
) )
83, 5, 73imtr4d 271 . . . . 5  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
98aecoms-o 32441 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
109a1d 26 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) )
1110a1d 26 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) ) ) )
12 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  -.  A. x  x  =  y )
13 dveeq1-o 32475 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1413naecoms-o 32467 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( x  =  y  ->  A. z  x  =  y )
)
1514imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
1615adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  ->  A. z  x  =  y )
17 hbnae-o 32468 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  A. z  -.  A. x  x  =  y )
18 hba1-o 32438 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  A. z A. z  x  =  y )
1917, 18hban 1991 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  A. z
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y ) )
20 ax-c5 32424 . . . . . . 7  |-  ( A. z  x  =  y  ->  x  =  y )
21 ax12inda2.1 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) ) )
2221imp 430 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
2320, 22sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  ph )
) )
2419, 23alimdh 1683 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. z  x  =  y
)  ->  ( A. z ph  ->  A. z A. x ( x  =  y  ->  ph ) ) )
2512, 16, 24syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. z A. x
( x  =  y  ->  ph ) ) )
26 ax-11 1896 . . . . . 6  |-  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x A. z
( x  =  y  ->  ph ) )
27 hbnae-o 32468 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. x  -.  A. x  x  =  z )
28 hbnae-o 32468 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  A. z  -.  A. x  x  =  z )
2928, 14nfdh 1934 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/ z  x  =  y )
30 19.21t 1963 . . . . . . . 8  |-  ( F/ z  x  =  y  ->  ( A. z
( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3227, 31albidh 1720 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. x A. z ( x  =  y  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3326, 32syl5ib 222 . . . . 5  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3433ad2antrr 730 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z A. x ( x  =  y  ->  ph )  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3525, 34syld 45 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  /\  x  =  y )  -> 
( A. z ph  ->  A. x ( x  =  y  ->  A. z ph ) ) )
3635exp31 607 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) ) )
3711, 36pm2.61i 167 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( A. z ph  ->  A. x
( x  =  y  ->  A. z ph )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   F/wnf 1661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-c5 32424  ax-c4 32425  ax-c7 32426  ax-c11 32428  ax-c9 32431
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-ex 1658  df-nf 1662
This theorem is referenced by: (None)
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