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Theorem ax12el 32557
Description: Basis step for constructing a substitution instance of ax-c15 32505 without using ax-c15 32505. Atomic formula for membership predicate. (Contributed by NM, 22-Jan-2007.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax12el  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )

Proof of Theorem ax12el
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1742 . . 3  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  <->  ( A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w ) )
2 elequ1 1904 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
3 elequ2 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
42, 3bitrd 261 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
54adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
6 ax-5 1768 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  v  ->  A. x  v  e.  v )
7 ax-5 1768 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  y  ->  A. v 
y  e.  y )
8 elequ1 1904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
v  e.  v  <->  y  e.  v ) )
9 elequ2 1911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  y  ->  (
y  e.  v  <->  y  e.  y ) )
108, 9bitrd 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  y  ->  (
v  e.  v  <->  y  e.  y ) )
116, 7, 10dvelimf-o 32544 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( y  e.  y  ->  A. x  y  e.  y )
)
124biimprcd 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  y  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  x )
)
1312alimi 1694 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  y  e.  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x ) )
1411, 13syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( y  e.  y  ->  A. x
( x  =  y  ->  x  e.  x
) ) )
1514adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( y  e.  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x ) ) )
165, 15sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y )  -> 
( x  e.  x  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x ) ) )
1716adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( x  e.  x  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x ) ) )
18 elequ1 1904 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  x ) )
19 elequ2 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  w ) )
2018, 19sylan9bb 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  ( x  e.  x  <->  z  e.  w ) )
2120sps-o 32523 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  w ) )
22 nfa1-o 32530 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )
2321imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  (
( x  =  y  ->  x  e.  x
)  <->  ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
2422, 23albid 1973 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x )  <->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) )
2521, 24imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  (
( x  e.  x  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  x ) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
2625adantr 471 . . . . 5  |-  ( ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( ( x  e.  x  ->  A. x
( x  =  y  ->  x  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
2717, 26mpbid 215 . . . 4  |-  ( ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
2827exp32 614 . . 3  |-  ( A. x ( x  =  z  /\  x  =  w )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) ) )
291, 28sylbir 218 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  -> 
( z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) ) ) )
30 elequ1 1904 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  y  e.  w ) )
3130ad2antll 740 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  w  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( x  e.  w  <->  y  e.  w ) )
32 ax-c14 32507 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  w  ->  ( y  e.  w  ->  A. x  y  e.  w )
) )
3332impcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  w  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( y  e.  w  ->  A. x  y  e.  w )
)
3433adantrr 728 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  w  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( y  e.  w  ->  A. x  y  e.  w ) )
3530biimprcd 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  w  ->  (
x  =  y  ->  x  e.  w )
)
3635alimi 1694 . . . . . . 7  |-  ( A. x  y  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  w ) )
3734, 36syl6 34 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  w  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( y  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  w ) ) )
3831, 37sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  w  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( x  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  w ) ) )
3938adantll 725 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( x  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  x  e.  w ) ) )
40 elequ1 1904 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  w  <->  z  e.  w ) )
4140sps-o 32523 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  w  <->  z  e.  w ) )
4241imbi2d 322 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( x  =  y  ->  x  e.  w )  <->  ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
4342dral2-o 32545 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  x  e.  w )  <->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
4441, 43imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( ( x  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  x  e.  w
) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
4544ad2antrr 737 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( ( x  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  x  e.  w
) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
4639, 45mpbid 215 . . 3  |-  ( ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
4746exp32 614 . 2  |-  ( ( A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w
)  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) ) )
48 elequ2 1911 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  z  e.  y ) )
4948ad2antll 740 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  x  <->  z  e.  y ) )
50 ax-c14 32507 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( z  e.  y  ->  A. x  z  e.  y )
) )
5150imp 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  y )  ->  ( z  e.  y  ->  A. x  z  e.  y )
)
5251adantrr 728 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  y  ->  A. x  z  e.  y ) )
5348biimprcd 233 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  ->  (
x  =  y  -> 
z  e.  x ) )
5453alimi 1694 . . . . . . 7  |-  ( A. x  z  e.  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  x ) )
5552, 54syl6 34 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  y  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  x ) ) )
5649, 55sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  ( -.  A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  x  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  x ) ) )
5756adantlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  x  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  x ) ) )
5819sps-o 32523 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( z  e.  x  <->  z  e.  w ) )
5958imbi2d 322 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( ( x  =  y  ->  z  e.  x )  <->  ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
6059dral2-o 32545 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( A. x ( x  =  y  -> 
z  e.  x )  <->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
6158, 60imbi12d 326 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  w  ->  ( ( z  e.  x  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
6261ad2antlr 738 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( ( z  e.  x  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  x
) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
6357, 62mpbid 215 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w )  /\  ( -. 
A. x  x  =  y  /\  x  =  y ) )  -> 
( z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
6463exp32 614 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  A. x  x  =  w
)  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) ) )
65 ax6ev 1817 . . . . 5  |-  E. u  u  =  w
66 ax6ev 1817 . . . . . . 7  |-  E. v 
v  =  z
67 ax-1 6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  u  ->  (
x  =  y  -> 
v  e.  u ) )
6867alrimiv 1783 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  u  ->  A. x
( x  =  y  ->  v  e.  u
) )
69 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  z  ->  (
v  e.  u  <->  z  e.  u ) )
70 elequ2 1911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
z  e.  u  <->  z  e.  w ) )
7169, 70sylan9bb 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  =  z  /\  u  =  w )  ->  ( v  e.  u  <->  z  e.  w ) )
7271adantl 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  ( v  e.  u  <->  z  e.  w
) )
73 dveeq2-o 32548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  ( v  =  z  ->  A. x  v  =  z )
)
74 dveeq2-o 32548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
A. x  x  =  w  ->  ( u  =  w  ->  A. x  u  =  w )
)
7573, 74im2anan9 851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( (
v  =  z  /\  u  =  w )  ->  ( A. x  v  =  z  /\  A. x  u  =  w
) ) )
7675imp 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  ( A. x  v  =  z  /\  A. x  u  =  w ) )
77 19.26 1742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( v  =  z  /\  u  =  w )  <->  ( A. x  v  =  z  /\  A. x  u  =  w ) )
7876, 77sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  A. x
( v  =  z  /\  u  =  w ) )
79 nfa1-o 32530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x A. x ( v  =  z  /\  u  =  w )
8071sps-o 32523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x ( v  =  z  /\  u  =  w )  ->  (
v  e.  u  <->  z  e.  w ) )
8180imbi2d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x ( v  =  z  /\  u  =  w )  ->  (
( x  =  y  ->  v  e.  u
)  <->  ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) )
8279, 81albid 1973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x ( v  =  z  /\  u  =  w )  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  v  e.  u )  <->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) )
8378, 82syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  ( A. x ( x  =  y  ->  v  e.  u )  <->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) )
8472, 83imbi12d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  ( (
v  e.  u  ->  A. x ( x  =  y  ->  v  e.  u ) )  <->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
8568, 84mpbii 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  /\  (
v  =  z  /\  u  =  w )
)  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) )
8685exp32 614 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( v  =  z  ->  ( u  =  w  ->  (
z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) ) ) )
8786exlimdv 1789 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( E. v  v  =  z  ->  ( u  =  w  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) ) )
8866, 87mpi 20 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( u  =  w  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
8988exlimdv 1789 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( E. u  u  =  w  ->  ( z  e.  w  ->  A. x ( x  =  y  ->  z  e.  w ) ) ) )
9065, 89mpi 20 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) )
9190a1d 26 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
9291a1d 26 . 2  |-  ( ( -.  A. x  x  =  z  /\  -.  A. x  x  =  w )  ->  ( -.  A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) ) )
9329, 47, 64, 924cases 966 1  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( x  =  y  ->  ( z  e.  w  ->  A. x
( x  =  y  ->  z  e.  w
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-c5 32499  ax-c4 32500  ax-c7 32501  ax-c11 32503  ax-c9 32506  ax-c14 32507
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-ex 1674  df-nf 1678
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