Theorem ax0id 5293

Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Proof of Theorem ax0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5252	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 3974	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. + 0) = (A + 0))
3		id 59	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1492	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. + 0) = <.x, y>. <-> (A + 0) = A))
5		0r 5201	. . . . . 6 |- 0R e. R.
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (0R e. R. /\ 0R e. R.)
7		addcnsr 5265	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
8	6, 7	mpan2 698	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
9		opeq12 2493	. . . . 5 |- (((x +R 0R) = x /\ (y +R 0R) = y) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
10		0idsr 5218	. . . . 5 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
11		0idsr 5218	. . . . 5 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
12	9, 10, 11	syl2an 456	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
13	8, 12	eqtrd 1510	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.x, y>.)
14		df-0 5253	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
15	14	opreq2i 3978	. . 3 |- (<.x, y>. + 0) = (<.x, y>. + <.0R, 0R>.)
16	13, 15	syl5eq 1522	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + 0) = <.x, y>.)
17	1, 4, 16	optocl 3241	1 |- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006   +R cplr 5009  CCcc 5244  0cc0 5246   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  addid1t 5322  addid2t 5341  addid1 5342  pncant 5409  ltaddpost 5663  addge01t 5684  nnge1t 5945  nnleltp1t 5956  nn0addclt 6122  nnnn0addclt 6127  ser1mono 6338  shftval3t 6349  uzaddclt 6450  expaddt 6597  reim0bt 6776  recjt 6818  faclbnd4lem4 6951  faclbnd6 6954  csbfsum 7027  iserzex 7146  metsym 7813  ipid 8359  sinper 8685  sinhalfpip 8694  efifolem6 8722  normpyct 9008  pjthlem8 9221  pjspansnt 9495  lnfnmul 9968  hstoht 10154  iintlem1 10603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-0r 5183  df-c 5252  df-0 5253  df-plus 5257

Copyright terms: Public domain