Theorem ax0id 6230

Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0id	|- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Proof of Theorem ax0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 6188	. 2 |- CC = (R. X. R.)
2		opreq1 4700	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. + 0) = (A + 0))
3		id 73	. . 3 |- (<.x, y>. = A -> <.x, y>. = A)
4	2, 3	eqeq12d 1736	. 2 |- (<.x, y>. = A -> ((<.x, y>. + 0) = <.x, y>. <-> (A + 0) = A))
5		0r 6137	. . . . 5 |- 0R e. R.
6		addcnsr 6201	. . . . 5 |- (((x e. R. /\ y e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
7	5, 5, 6	mpanr12 775	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.(x +R 0R), (y +R 0R)>.)
8		opeq12 2982	. . . . 5 |- (((x +R 0R) = x /\ (y +R 0R) = y) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
9		0idsr 6154	. . . . 5 |- (x e. R. -> (x +R 0R) = x)
10		0idsr 6154	. . . . 5 |- (y e. R. -> (y +R 0R) = y)
11	8, 9, 10	syl2an 501	. . . 4 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> <.(x +R 0R), (y +R 0R)>. = <.x, y>.)
12	7, 11	eqtrd 1762	. . 3 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + <.0R, 0R>.) = <.x, y>.)
13		df-0 6189	. . . 4 |- 0 = <.0R, 0R>.
14	13	opreq2i 4704	. . 3 |- (<.x, y>. + 0) = (<.x, y>. + <.0R, 0R>.)
15	12, 14	syl5eq 1777	. 2 |- ((x e. R. /\ y e. R.) -> (<.x, y>. + 0) = <.x, y>.)
16	1, 4, 15	optocl 3872	1 |- (A e. CC -> (A + 0) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942   +R cplr 5945  CCcc 6180  0cc0 6182   + caddc 6185

This theorem is referenced by:  addid1 6259  rddif 15480  idcncf 15566  heiborlem35 15671  reparpht 15747  pcorevlem 15768

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-0r 6119  df-c 6188  df-0 6189  df-plus 6193

Copyright terms: Public domain