MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  avglt2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem avglt2 10851
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avglt2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )

Proof of Theorem avglt2
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
21recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
3 2times 10728 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
2  x.  B )  =  ( B  +  B ) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  x.  B
)  =  ( B  +  B ) )
54breq2d 4414 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  <  (
2  x.  B )  <-> 
( A  +  B
)  <  ( B  +  B ) ) )
6 readdcl 9622 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
7 2re 10679 . . . . 5  |-  2  e.  RR
8 2pos 10701 . . . . 5  |-  0  <  2
97, 8pm3.2i 457 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
109a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
11 ltdivmul 10480 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( ( A  +  B )  /  2 )  < 
B  <->  ( A  +  B )  <  (
2  x.  B ) ) )
126, 1, 10, 11syl3anc 1268 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( A  +  B )  / 
2 )  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( 2  x.  B ) ) )
13 ltadd1 10081 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( B  +  B )
) )
14133anidm23 1327 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  B )  <  ( B  +  B ) ) )
155, 12, 143bitr4rd 290 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( A  +  B
)  /  2 )  <  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    / cdiv 10269   2c2 10659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-2 10668
This theorem is referenced by:  avgle1  10852  geomulcvg  13932  ruclem2  14284  ruclem3  14285  dvferm1lem  22936  dvferm2lem  22938  radcnvle  23375  psercnlem1  23380  pserdvlem1  23382  pserdvlem2  23383  logtayl  23605  iooelexlt  31765  ioomidp  37615  dvbdfbdioolem2  37801  dvbdfbdioo  37802  fourierdlem10  37979  fourierdlem79  38049
  Copyright terms: Public domain W3C validator