MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  avglt1 Structured version   Unicode version

Theorem avglt1 10772
Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
avglt1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )

Proof of Theorem avglt1
StepHypRef Expression
1 ltadd2 9677 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  A )  <  ( A  +  B )
) )
213anidm13 1284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  +  A )  <  ( A  +  B ) ) )
3 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
43recnd 9611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
5 times2 10651 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  x.  2 )  =  ( A  +  A ) )
76breq1d 4449 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  2 )  <  ( A  +  B )  <->  ( A  +  A )  <  ( A  +  B ) ) )
8 readdcl 9564 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
9 2re 10601 . . . . 5  |-  2  e.  RR
10 2pos 10623 . . . . 5  |-  0  <  2
119, 10pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
13 ltmuldiv 10411 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( A  x.  2 )  <  ( A  +  B )  <->  A  <  ( ( A  +  B
)  /  2 ) ) )
143, 8, 12, 13syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  x.  2 )  <  ( A  +  B )  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
152, 7, 143bitr2d 281 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A  <  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    / cdiv 10202   2c2 10581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-2 10590
This theorem is referenced by:  avgle2  10775  geomulcvg  13767  ruclem2  14049  ruclem3  14050  dvferm1lem  22551  dvferm2lem  22553  radcnvle  22981  psercnlem1  22986  psercn  22987  pserdvlem1  22988  logtayl  23209  ioomidp  31793  dvbdfbdioolem2  31965  dvbdfbdioo  31966  fourierdlem10  32138
  Copyright terms: Public domain W3C validator