Theorem avgle 7231

Description: The average of two numbers is less than or equal to at least one of them.

Assertion

Ref	Expression
avgle	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ A \/ ((A + B) / 2) <_ B))

Proof of Theorem avgle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 7163	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
2		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- ((2 e. RR /\ A e. RR) -> (2 x. A) e. RR)
3	1, 2	mpan 759	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (2 x. A) e. RR)
4	3	adantr 425	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (2 x. A) e. RR)
5		readdcl 6455	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
6		ltnle 6680	. . . . 5 |- (((2 x. A) e. RR /\ (A + B) e. RR) -> ((2 x. A) < (A + B) <-> -. (A + B) <_ (2 x. A)))
7	4, 5, 6	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((2 x. A) < (A + B) <-> -. (A + B) <_ (2 x. A)))
8		ltadd2 6807	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> (A < B <-> (A + A) < (A + B)))
9	8	3anidm13 1155	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A + A) < (A + B)))
10		ltadd1 6806	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A + B) < (B + B)))
11	10	3anidm23 1156	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B <-> (A + B) < (B + B)))
12	9, 11	bitr3d 589	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A + A) < (A + B) <-> (A + B) < (B + B)))
13		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> A e. CC)
14		2times 7188	. . . . . . . . 9 |- (A e. CC -> (2 x. A) = (A + A))
15	13, 14	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (2 x. A) = (A + A))
16	15	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (2 x. A) = (A + A))
17	16	breq1d 3348	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((2 x. A) < (A + B) <-> (A + A) < (A + B)))
18		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (B e. RR -> B e. CC)
19		2times 7188	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (2 x. B) = (B + B))
20	18, 19	syl 12	. . . . . . . 8 |- (B e. RR -> (2 x. B) = (B + B))
21	20	adantl 424	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (2 x. B) = (B + B))
22	21	breq2d 3350	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A + B) < (2 x. B) <-> (A + B) < (B + B)))
23	12, 17, 22	3bitr4d 609	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((2 x. A) < (A + B) <-> (A + B) < (2 x. B)))
24		remulcl 6457	. . . . . . . 8 |- ((2 e. RR /\ B e. RR) -> (2 x. B) e. RR)
25	1, 24	mpan 759	. . . . . . 7 |- (B e. RR -> (2 x. B) e. RR)
26	25	adantl 424	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (2 x. B) e. RR)
27		ltle 6690	. . . . . 6 |- (((A + B) e. RR /\ (2 x. B) e. RR) -> ((A + B) < (2 x. B) -> (A + B) <_ (2 x. B)))
28	5, 26, 27	syl11anc 524	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A + B) < (2 x. B) -> (A + B) <_ (2 x. B)))
29	23, 28	sylbid 220	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((2 x. A) < (A + B) -> (A + B) <_ (2 x. B)))
30	7, 29	sylbird 222	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (-. (A + B) <_ (2 x. A) -> (A + B) <_ (2 x. B)))
31	30	orrd 250	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A + B) <_ (2 x. A) \/ (A + B) <_ (2 x. B)))
32		simpl 346	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> A e. RR)
33		2pos 7173	. . . . . 6 |- 0 < 2
34		ledivmulOLD 7052	. . . . . 6 |- ((((A + B) e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < 2) -> (((A + B) / 2) <_ A <-> (A + B) <_ (2 x. A)))
35	33, 34	mpan2 760	. . . . 5 |- (((A + B) e. RR /\ 2 e. RR /\ A e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ A <-> (A + B) <_ (2 x. A)))
36	1, 35	mp3an2 1179	. . . 4 |- (((A + B) e. RR /\ A e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ A <-> (A + B) <_ (2 x. A)))
37	5, 32, 36	syl11anc 524	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ A <-> (A + B) <_ (2 x. A)))
38		ledivmulOLD 7052	. . . . . 6 |- ((((A + B) e. RR /\ 2 e. RR /\ B e. RR) /\ 0 < 2) -> (((A + B) / 2) <_ B <-> (A + B) <_ (2 x. B)))
39	33, 38	mpan2 760	. . . . 5 |- (((A + B) e. RR /\ 2 e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ B <-> (A + B) <_ (2 x. B)))
40	1, 39	mp3an2 1179	. . . 4 |- (((A + B) e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ B <-> (A + B) <_ (2 x. B)))
41	5, 40	sylancom 531	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ B <-> (A + B) <_ (2 x. B)))
42	37, 41	orbi12d 689	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((((A + B) / 2) <_ A \/ ((A + B) / 2) <_ B) <-> ((A + B) <_ (2 x. A) \/ (A + B) <_ (2 x. B))))
43	31, 42	mpbird 213	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (((A + B) / 2) <_ A \/ ((A + B) / 2) <_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145

This theorem is referenced by:  facavg 8207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154

Copyright terms: Public domain