Theorem atompoint 17224

Description: The singleton of an atom is a point.

Hypotheses

Ref	Expression
ispoint.a	|- A = (AtomsNEW` K)
ispoint.p	|- P = (Points` K)

Assertion

Ref	Expression
atompoint	|- ((K e. D /\ X e. A) -> {X} e. P)

Proof of Theorem atompoint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- {X} = {X}
2		sneq 3054	. . . . . 6 |- (x = X -> {x} = {X})
3	2	eqeq2d 1895	. . . . 5 |- (x = X -> ({X} = {x} <-> {X} = {X}))
4	3	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((X e. A /\ {X} = {X}) -> E.x e. A {X} = {x})
5	1, 4	mpan2 760	. . 3 |- (X e. A -> E.x e. A {X} = {x})
6	5	adantl 424	. 2 |- ((K e. D /\ X e. A) -> E.x e. A {X} = {x})
7		ispoint.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
8		ispoint.p	. . . 4 |- P = (Points` K)
9	7, 8	ispoint 17223	. . 3 |- (K e. D -> ({X} e. P <-> E.x e. A {X} = {x}))
10	9	adantr 425	. 2 |- ((K e. D /\ X e. A) -> ({X} e. P <-> E.x e. A {X} = {x}))
11	6, 10	mpbird 213	1 |- ((K e. D /\ X e. A) -> {X} e. P)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  {csn 3044  ` cfv 3998  AtomsNEWcatm 16981  Pointscpoints 17212

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-points 17216

Copyright terms: Public domain