Theorem atomnle0 17007

Description: An atom is not less than or equal to zero.

Hypotheses

Ref	Expression
atomnle0.l	|- L = (le` K)
atomnle0.z	|- Z = (0.` K)
atomnle0.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atomnle0	|- ((K e. OP /\ P e. A) -> -. PLZ)

Proof of Theorem atomnle0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 16912	. . 3 |- (K e. OP -> K e. PosetNEW)
2	1	adantr 425	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> K e. PosetNEW)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (base` K) = (base` K)
4		atomnle0.z	. . . 4 |- Z = (0.` K)
5	3, 4	op0cl 16914	. . 3 |- (K e. OP -> Z e. (base` K))
6	5	adantr 425	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> Z e. (base` K))
7		atomnle0.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
8	3, 7	atombase 17003	. . 3 |- (P e. A -> P e. (base` K))
9	8	adantl 424	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> P e. (base` K))
10		eqid 1884	. . . 4 |- ( <oNEW ` K) = ( <oNEW ` K)
11	3, 4, 10, 7	isatom 17001	. . 3 |- (K e. OP -> (P e. A <-> (P e. (base` K) /\ Z( <oNEW ` K)P)))
12	11	simplbda 465	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> Z( <oNEW ` K)P)
13		atomnle0.l	. . 3 |- L = (le` K)
14	3, 13, 10	cvrnle 16997	. 2 |- (((K e. PosetNEW /\ Z e. (base` K) /\ P e. (base` K)) /\ Z( <oNEW ` K)P) -> -. PLZ)
15	2, 6, 9, 12, 14	syl31anc 1103	1 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> -. PLZ)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  0.cp0 16832  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981

This theorem is referenced by:  pmap0 17245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-oposet 16905  df-covers 16984  df-atoms 16985

Copyright terms: Public domain