Theorem atomnle 17016

Description: Two ways of expressing "an atom is not less than or equal to a lattice element." (Th. atnssm0 11948 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomnle.b	|- B = (base` K)
atomnle.l	|- L = (le` K)
atomnle.m	|- M = (meet` K)
atomnle.z	|- Z = (0.` K)
atomnle.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atomnle	|- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> (-. PLX <-> (PMX) = Z))

Proof of Theorem atomnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1r 928	. . . . . 6 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> K e. AtLat)
2		simp1l 900	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> K e. OL)
3		ollat 16940	. . . . . . . . 9 |- (K e. OL -> K e. LatNEW)
4	2, 3	syl 12	. . . . . . . 8 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> K e. LatNEW)
5		atomnle.b	. . . . . . . . . 10 |- B = (base` K)
6		atomnle.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (AtomsNEW` K)
7	5, 6	atombase 17003	. . . . . . . . 9 |- (P e. A -> P e. B)
8	7	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> P e. B)
9		simp3 878	. . . . . . . 8 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> X e. B)
10		atomnle.m	. . . . . . . . 9 |- M = (meet` K)
11	5, 10	latmcl 16853	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ P e. B /\ X e. B) -> (PMX) e. B)
12	4, 8, 9, 11	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> (PMX) e. B)
13	12	adantr 425	. . . . . 6 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> (PMX) e. B)
14		simpr 350	. . . . . 6 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> (PMX) =/= Z)
15		atomnle.l	. . . . . . 7 |- L = (le` K)
16		atomnle.z	. . . . . . 7 |- Z = (0.` K)
17	5, 15, 16, 6	atlatex 17013	. . . . . 6 |- ((K e. AtLat /\ (PMX) e. B /\ (PMX) =/= Z) -> E.y e. A yL(PMX))
18	1, 13, 14, 17	syl111anc 1100	. . . . 5 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> E.y e. A yL(PMX))
19		simpl1l 927	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> K e. OL)
20	19, 3	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> K e. LatNEW)
21	5, 6	atombase 17003	. . . . . . . . . 10 |- (y e. A -> y e. B)
22	21	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> y e. B)
23		simpl2 880	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> P e. A)
24	23, 7	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> P e. B)
25		simpl3 881	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> X e. B)
26	5, 15, 10	latlem12 16873	. . . . . . . . 9 |- ((K e. LatNEW /\ (y e. B /\ P e. B /\ X e. B)) -> ((yLP /\ yLX) <-> yL(PMX)))
27	20, 22, 24, 25, 26	syl13anc 1102	. . . . . . . 8 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> ((yLP /\ yLX) <-> yL(PMX)))
28		olop 16941	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. OL -> K e. OP)
29	19, 28	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> K e. OP)
30		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> y e. A)
31	15, 6	atomcmp 17008	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OP /\ y e. A /\ P e. A) -> (yLP <-> y = P))
32	29, 30, 23, 31	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> (yLP <-> y = P))
33		breq1 3341	. . . . . . . . . . 11 |- (y = P -> (yLX <-> PLX))
34	33	biimpd 170	. . . . . . . . . 10 |- (y = P -> (yLX -> PLX))
35	32, 34	syl6bi 231	. . . . . . . . 9 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> (yLP -> (yLX -> PLX)))
36	35	imp3a 388	. . . . . . . 8 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> ((yLP /\ yLX) -> PLX))
37	27, 36	sylbird 222	. . . . . . 7 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ y e. A) -> (yL(PMX) -> PLX))
38	37	adantlr 429	. . . . . 6 |- (((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) /\ y e. A) -> (yL(PMX) -> PLX))
39	38	r19.23adva 2216	. . . . 5 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> (E.y e. A yL(PMX) -> PLX))
40	18, 39	mpd 29	. . . 4 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) =/= Z) -> PLX)
41	40	ex 402	. . 3 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> ((PMX) =/= Z -> PLX))
42	41	necon1bd 2080	. 2 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> (-. PLX -> (PMX) = Z))
43	2, 28	syl 12	. . . 4 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> K e. OP)
44		simp2 877	. . . 4 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> P e. A)
45	16, 6	atomn0 17006	. . . 4 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> P =/= Z)
46	43, 44, 45	syl11anc 524	. . 3 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> P =/= Z)
47	5, 15, 10	latleeqm1 16874	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ P e. B /\ X e. B) -> (PLX <-> (PMX) = P))
48	4, 8, 9, 47	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> (PLX <-> (PMX) = P))
49	48	adantr 425	. . . . . 6 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) = Z) -> (PLX <-> (PMX) = P))
50		eqeq1 1890	. . . . . . . 8 |- ((PMX) = P -> ((PMX) = Z <-> P = Z))
51	50	biimpcd 172	. . . . . . 7 |- ((PMX) = Z -> ((PMX) = P -> P = Z))
52	51	adantl 424	. . . . . 6 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) = Z) -> ((PMX) = P -> P = Z))
53	49, 52	sylbid 220	. . . . 5 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) = Z) -> (PLX -> P = Z))
54	53	necon3ad 2037	. . . 4 |- ((((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) /\ (PMX) = Z) -> (P =/= Z -> -. PLX))
55	54	ex 402	. . 3 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> ((PMX) = Z -> (P =/= Z -> -. PLX)))
56	46, 55	mpid 58	. 2 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> ((PMX) = Z -> -. PLX))
57	42, 56	impbid 574	1 |- (((K e. OL /\ K e. AtLat) /\ P e. A /\ X e. B) -> (-. PLX <-> (PMX) = Z))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  E.wrex 2106   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  meetcmee 16767  0.cp0 16832  LatNEWclat 16834  OPcops 16837  OLcol 16839  AtomsNEWcatm 16981  AtLatcal 16982

This theorem is referenced by:  atmnem0 17032  hlexch3 17041  hlexch4 17042  cvrp 17056  cvrat4 17076

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-glb 16800  df-meet 16802  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986

Copyright terms: Public domain