HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atoml2i Structured version   Unicode version

Theorem atoml2i 25922
Description: An assertion holding in atomic orthomodular lattices that is equivalent to the exchange axiom. Proposition P8(ii) of [BeltramettiCassinelli1] p. 400. (Contributed by NM, 12-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atoml2i  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  -.  B  C_  A )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
)

Proof of Theorem atoml2i
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
2 atelch 25883 . . . . . . . 8  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
3 pjoml5 25151 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  (
( _|_ `  A
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( A  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( A  vH  B ) )
5 incom 3641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( A  vH  B ) )
65eqeq1i 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  <->  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  0H )
76biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  ->  ( ( _|_ `  A )  i^i  ( A  vH  B
) )  =  0H )
87oveq2d 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  ->  ( A  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  ( A  vH  0H ) )
91chj0i 24993 . . . . . . . 8  |-  ( A  vH  0H )  =  A
108, 9syl6eq 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  ->  ( A  vH  ( ( _|_ `  A
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )  =  A )
114, 10sylan9req 2513 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H )  ->  ( A  vH  B )  =  A )
1211ex 434 . . . . 5  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H 
->  ( A  vH  B
)  =  A ) )
13 chlejb2 25051 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( B  C_  A  <->  ( A  vH  B )  =  A ) )
142, 1, 13sylancl 662 . . . . 5  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( B  C_  A 
<->  ( A  vH  B
)  =  A ) )
1512, 14sylibrd 234 . . . 4  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H 
->  B  C_  A ) )
1615con3d 133 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  B  C_  A  ->  -.  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
171atomli 25921 . . . . 5  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  (HAtoms 
u.  { 0H }
) )
18 elun 3595 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  { 0H }
) )
19 h0elch 24793 . . . . . . . . 9  |-  0H  e.  CH
2019elexi 3078 . . . . . . . 8  |-  0H  e.  _V
2120elsnc2 4006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. 
{ 0H }  <->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H )
2221orbi2i 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H ) )
23 orcom 387 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H )  <->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
2418, 22, 233bitri 271 . . . . 5  |-  ( ( ( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e.  (HAtoms  u.  { 0H } )  <->  ( (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
2517, 24sylib 196 . . . 4  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  =  0H  \/  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
2625ord 377 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  =  0H  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
2716, 26syld 44 . 2  |-  ( B  e. HAtoms  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( ( A  vH  B )  i^i  ( _|_ `  A
) )  e. HAtoms )
)
2827imp 429 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  -.  B  C_  A )  ->  (
( A  vH  B
)  i^i  ( _|_ `  A ) )  e. HAtoms
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    u. cun 3424    i^i cin 3425    C_ wss 3426   {csn 3975   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CHcch 24466   _|_cort 24467    vH chj 24470   0Hc0h 24472  HAtomscat 24502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cc 8705  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463  ax-hilex 24536  ax-hfvadd 24537  ax-hvcom 24538  ax-hvass 24539  ax-hv0cl 24540  ax-hvaddid 24541  ax-hfvmul 24542  ax-hvmulid 24543  ax-hvmulass 24544  ax-hvdistr1 24545  ax-hvdistr2 24546  ax-hvmul0 24547  ax-hfi 24616  ax-his1 24619  ax-his2 24620  ax-his3 24621  ax-his4 24622  ax-hcompl 24739
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-lm 18949  df-haus 19035  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cfil 20882  df-cau 20883  df-cmet 20884  df-grpo 23813  df-gid 23814  df-ginv 23815  df-gdiv 23816  df-ablo 23904  df-subgo 23924  df-vc 24059  df-nv 24105  df-va 24108  df-ba 24109  df-sm 24110  df-0v 24111  df-vs 24112  df-nmcv 24113  df-ims 24114  df-dip 24231  df-ssp 24255  df-ph 24348  df-cbn 24399  df-hnorm 24505  df-hba 24506  df-hvsub 24508  df-hlim 24509  df-hcau 24510  df-sh 24744  df-ch 24759  df-oc 24790  df-ch0 24791  df-shs 24846  df-span 24847  df-chj 24848  df-chsup 24849  df-pjh 24933  df-cv 25818  df-at 25877
This theorem is referenced by:  atordi  25923
  Copyright terms: Public domain W3C validator