Theorem atomcvreq0 17010

Description: An element covered by an atom must be zero. (Th. atcveq0 11920 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcvreq0.b	|- B = (base` K)
atomcvreq0.l	|- L = (le` K)
atomcvreq0.z	|- Z = (0.` K)
atomcvreq0.c	|- C = ( <oNEW ` K)
atomcvreq0.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atomcvreq0	|- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XCP <-> X = Z))

Proof of Theorem atomcvreq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 16912	. . . . . . . 8 |- (K e. OP -> K e. PosetNEW)
2	1	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> K e. PosetNEW)
3	2	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> K e. PosetNEW)
4		atomcvreq0.b	. . . . . . . . 9 |- B = (base` K)
5		atomcvreq0.z	. . . . . . . . 9 |- Z = (0.` K)
6	4, 5	op0cl 16914	. . . . . . . 8 |- (K e. OP -> Z e. B)
7	6	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> Z e. B)
8	7	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> Z e. B)
9		atomcvreq0.a	. . . . . . . . 9 |- A = (AtomsNEW` K)
10	4, 9	atombase 17003	. . . . . . . 8 |- (P e. A -> P e. B)
11	10	3ad2ant3 899	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> P e. B)
12	11	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> P e. B)
13		simpl2 880	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> X e. B)
14		atomcvreq0.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( <oNEW ` K)
15	4, 5, 14, 9	atomcvr0 17002	. . . . . . . 8 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> ZCP)
16	15	3adant2 895	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> ZCP)
17	16	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> ZCP)
18		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (le` K) = (le` K)
19		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (lt` K) = (lt` K)
20	4, 18, 19, 14	cvrnbtwn3 16993	. . . . . 6 |- ((K e. PosetNEW /\ (Z e. B /\ P e. B /\ X e. B) /\ ZCP) -> ((Z(le` K)X /\ X(lt` K)P) <-> Z = X))
21	3, 8, 12, 13, 17, 20	syl131anc 1113	. . . . 5 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> ((Z(le` K)X /\ X(lt` K)P) <-> Z = X))
22	4, 18, 5	op0le 16916	. . . . . . 7 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> Z(le` K)X)
23	22	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> Z(le` K)X)
24	23	adantr 425	. . . . 5 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> Z(le` K)X)
25	4, 19, 14	cvrlt 16989	. . . . . 6 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. B) /\ XCP) -> X(lt` K)P)
26	25, 10	syl3anl3 1147	. . . . 5 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> X(lt` K)P)
27	21, 24, 26	mpbi2and 801	. . . 4 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> Z = X)
28	27	eqcomd 1889	. . 3 |- (((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) /\ XCP) -> X = Z)
29	28	ex 402	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XCP -> X = Z))
30		breq1 3341	. . 3 |- (X = Z -> (XCP <-> ZCP))
31	30, 16	syl5cbir 228	. 2 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (X = Z -> XCP))
32	29, 31	impbid 574	1 |- ((K e. OP /\ X e. B /\ P e. A) -> (XCP <-> X = Z))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  ltcplt 16761  0.cp0 16832  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981

This theorem is referenced by:  atncvr 17011  atcvrj0 17065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-glb 16800  df-p0 16841  df-oposet 16905  df-covers 16984  df-atoms 16985

Copyright terms: Public domain