Theorem atomcmp 17008

Description: If two atoms are comparable, they are equal. (Th. atsseq 11919 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
atomcmp.l	|- L = (le` K)
atomcmp.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atomcmp	|- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> (PLQ <-> P = Q))

Proof of Theorem atomcmp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opposet 16912	. . 3 |- (K e. OP -> K e. PosetNEW)
2	1	3ad2ant1 897	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> K e. PosetNEW)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (base` K) = (base` K)
4		atomcmp.a	. . . 4 |- A = (AtomsNEW` K)
5	3, 4	atombase 17003	. . 3 |- (P e. A -> P e. (base` K))
6	5	3ad2ant2 898	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> P e. (base` K))
7	3, 4	atombase 17003	. . 3 |- (Q e. A -> Q e. (base` K))
8	7	3ad2ant3 899	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> Q e. (base` K))
9		eqid 1884	. . . 4 |- (0.` K) = (0.` K)
10	3, 9	op0cl 16914	. . 3 |- (K e. OP -> (0.` K) e. (base` K))
11	10	3ad2ant1 897	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> (0.` K) e. (base` K))
12		eqid 1884	. . . . 5 |- ( <oNEW ` K) = ( <oNEW ` K)
13	3, 9, 12, 4	atomcvr0 17002	. . . 4 |- ((K e. OP /\ P e. A) -> (0.` K)( <oNEW ` K)P)
14	13	3adant3 896	. . 3 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> (0.` K)( <oNEW ` K)P)
15	3, 9, 12, 4	atomcvr0 17002	. . . 4 |- ((K e. OP /\ Q e. A) -> (0.` K)( <oNEW ` K)Q)
16	15	3adant2 895	. . 3 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> (0.` K)( <oNEW ` K)Q)
17	14, 16	jca 310	. 2 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> ((0.` K)( <oNEW ` K)P /\ (0.` K)( <oNEW ` K)Q))
18		atomcmp.l	. . 3 |- L = (le` K)
19	3, 18, 12	cvrcmp 16999	. 2 |- ((K e. PosetNEW /\ (P e. (base` K) /\ Q e. (base` K) /\ (0.` K) e. (base` K)) /\ ((0.` K)( <oNEW ` K)P /\ (0.` K)( <oNEW ` K)Q)) -> (PLQ <-> P = Q))
20	2, 6, 8, 11, 17, 19	syl131anc 1113	1 |- ((K e. OP /\ P e. A /\ Q e. A) -> (PLQ <-> P = Q))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  lecple 16759  PosetNEWcpo 16760  0.cp0 16832  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981

This theorem is referenced by:  atnlt 17009  atomnle 17016  atmnem0 17032  hlatexchb1 17043  cvratlem 17061  ps2 17079  pointpsub 17231  pmapat 17243

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-mpt 5006  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-oposet 16905  df-covers 16984  df-atoms 16985

Copyright terms: Public domain