Theorem atombase 17003

Description: An atom is a member of the lattice base set (i.e. a lattice element). (Th. atelch 11916 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
atombase.b	|- B = (base` K)
atombase.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atombase	|- (P e. A -> P e. B)

Proof of Theorem atombase

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 2880	. . . 4 |- (P e. A -> -. A = (/))
2		atombase.a	. . . . . 6 |- A = (AtomsNEW` K)
3	2	eqeq1i 1891	. . . . 5 |- (A = (/) <-> (AtomsNEW` K) = (/))
4	3	biimpri 169	. . . 4 |- ((AtomsNEW` K) = (/) -> A = (/))
5	1, 4	nsyl 131	. . 3 |- (P e. A -> -. (AtomsNEW` K) = (/))
6		fvprc 4678	. . 3 |- (-. K e. _V -> (AtomsNEW` K) = (/))
7	5, 6	nsyl2 133	. 2 |- (P e. A -> K e. _V)
8		atombase.b	. . . 4 |- B = (base` K)
9		eqid 1884	. . . 4 |- (0.` K) = (0.` K)
10		eqid 1884	. . . 4 |- ( <oNEW ` K) = ( <oNEW ` K)
11	8, 9, 10, 2	isatom 17001	. . 3 |- (K e. _V -> (P e. A <-> (P e. B /\ (0.` K)( <oNEW ` K)P)))
12	11	simprbda 464	. 2 |- ((K e. _V /\ P e. A) -> P e. B)
13	7, 12	mpancom 769	1 |- (P e. A -> P e. B)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  basecbs 16758  0.cp0 16832   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981

This theorem is referenced by:  atomssbase 17004  leatom 17005  atomn0 17006  atomnle0 17007  atomcmp 17008  atomcvreq0 17010  atncvr 17011  atomnle 17016  atomnlej1 17030  atomnlej2 17031  atmnem0 17032  hlexchb 17035  hlatexchb1 17043  hlatexchb2 17044  hlatexch1 17045  hlatexch2 17046  hlatmstc 17047  hlatle 17048  hlrelat5 17050  hlrelat 17051  hlrelat2 17052  cvr1 17054  cvr2 17055  cvrp 17056  atcvr1 17057  atcvr2 17058  cvrexchlem 17059  cvratlem 17061  cvrat 17062  atcvr0eq 17064  atcvrj0 17065  cvrat2 17066  atcvrne 17067  atcvrj1 17068  atcvrj2b 17069  atltcvr 17072  atexchcvr 17073  cvrat3 17075  cvrat4 17076  cvrat42 17077  ps-1 17078  ps2 17079  pointpsub 17231  linepsub 17232  pmaple 17241  pmapat 17243  pmap1 17247  isline2 17248  linepmap 17249  pmapsub 17250  pmapglbx 17251  elpaddn0 17261  paddcom 17274  paddasslem2 17282  paddasslem5 17285  paddasslem12 17292  paddasslem13 17293  pmapjoin 17313  pmapjat 17314  polval2 17319  pol1 17323  polat 17341  2polat 17342  paddatcl 17358  linepsubcl 17359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-mpt 5006  df-atoms 16985

Copyright terms: Public domain