Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlt Structured version   Unicode version

Theorem atlt 32454
Description: Two atoms are unequal iff their join is greater than one of them. (Contributed by NM, 6-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlt.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
atlt.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
atlt.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlt  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .<  ( P  .\/  Q )  <->  P  =/=  Q ) )

Proof of Theorem atlt
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
2 simp2 998 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  P  e.  A )
3 simp3 999 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  Q  e.  A )
4 atlt.s . . . 4  |-  .<  =  ( lt `  K )
5 atlt.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
6 atlt.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 eqid 2402 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
84, 5, 6, 7atltcvr 32452 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
) )  ->  ( P  .<  ( P  .\/  Q )  <->  P (  <o  `  K
) ( P  .\/  Q ) ) )
91, 2, 2, 3, 8syl13anc 1232 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .<  ( P  .\/  Q )  <->  P (  <o  `  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
105, 7, 6atcvr1 32434 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  =/=  Q  <->  P (  <o  `  K )
( P  .\/  Q
) ) )
119, 10bitr4d 256 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .<  ( P  .\/  Q )  <->  P  =/=  Q ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ltcplt 15894   joincjn 15897    <o ccvr 32280   Atomscatm 32281   HLchlt 32368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-preset 15881  df-poset 15899  df-plt 15912  df-lub 15928  df-glb 15929  df-join 15930  df-meet 15931  df-p0 15993  df-lat 16000  df-clat 16062  df-oposet 32194  df-ol 32196  df-oml 32197  df-covers 32284  df-ats 32285  df-atl 32316  df-cvlat 32340  df-hlat 32369
This theorem is referenced by:  atlelt  32455  2atlt  32456
  Copyright terms: Public domain W3C validator