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Theorem atlatmstc 29802
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 23818 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatmstc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatmstc.u  |-  .1.  =  ( lub `  K )
atlatmstc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatmstc  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, A    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    .1. ( y)    K( y)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
2 ssrab2 3388 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
3 atlatmstc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atssbase 29773 . . . . . 6  |-  A  C_  B
6 rabss2 3386 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )
75, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }
8 atlatmstc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 atlatmstc.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( lub `  K )
103, 8, 9lubss 14503 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )  -> 
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) 
.<_  (  .1.  `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } ) )
112, 7, 10mp3an23 1271 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
13 atlpos 29784 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
14133ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  ->  K  e.  Poset )
153, 8, 9lubid 14394 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1614, 15sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1712, 16breqtrd 4196 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  X )
18 breq1 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  .<_  X  <->  x  .<_  X ) )
1918elrab 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  <->  ( x  e.  A  /\  x  .<_  X ) )
20 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  K  e.  CLat )
21 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  A
2221, 5sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  B
233, 8, 9lubel 14504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  B )  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )
2422, 23mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )
2520, 24sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )
2625ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ) )
2719, 26syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  X )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )
2827expdimp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
29 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
30 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
3130, 4atn0 29791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  ( 0. `  K
) )
3229, 31sylancom 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
3332adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
34 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
35 atllat 29783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Lat )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
383, 4atbase 29772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  B )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
403, 9clatlubcl 14495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
411, 22, 40sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
4241adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  e.  B )
43 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OML )
44 omlop 29724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
46 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
473, 46opoccl 29677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4845, 41, 47syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
4948adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )
50 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
513, 8, 50latlem12 14462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  e.  B  /\  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
5237, 39, 42, 49, 51syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
533, 46, 50, 30opnoncon 29691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5445, 41, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5554breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
573, 8, 30ople0 29670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .<_  ( 0.
`  K )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5845, 38, 57syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( 0. `  K
)  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
5952, 56, 583bitrd 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6059biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) )
6160expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6261necon3ad 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  =/=  ( 0. `  K
)  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
6333, 62mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
6463ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6528, 64syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
66 imnan 412 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  -.  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6765, 66sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
68 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  X  e.  B )
693, 8, 50latlem12 14462 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7037, 39, 68, 49, 69syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <-> 
x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7167, 70mtbid 292 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  x  .<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
7271nrexdv 2769 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  -.  E. x  e.  A  x 
.<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
73 simpll3 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  K  e.  AtLat )
74 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
753, 50latmcl 14435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7636, 74, 48, 75syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7776adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
78 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
793, 8, 30, 4atlex 29799 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8073, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8180ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
)  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
8281necon1bd 2635 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  ->  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8372, 82mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
843, 8, 50, 46, 30omllaw3 29728 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8543, 41, 74, 84syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8617, 83, 85mp2and 661 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   Posetcpo 14352   lubclub 14354   meetcmee 14357   0.cp0 14421   Latclat 14429   CLatccla 14491   OPcops 29655   OMLcoml 29658   Atomscatm 29746   AtLatcal 29747
This theorem is referenced by:  atlatle  29803  hlatmstcOLDN  29879  pmaple  30243  pol1N  30392  polpmapN  30394  pmaplubN  30406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781
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