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Theorem atlatmstc 35441
Description: An atomic, complete, orthomodular lattice is atomistic i.e. every element is the join of the atoms under it. See remark before Proposition 1 in [Kalmbach] p. 140; also remark in [BeltramettiCassinelli] p. 98. (hatomistici 27479 analog.) (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlatmstc.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
atlatmstc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
atlatmstc.u  |-  .1.  =  ( lub `  K )
atlatmstc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atlatmstc  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y,  .<_    y, A    y, B    y, X
Allowed substitution hints:    .1. ( y)    K( y)

Proof of Theorem atlatmstc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
2 ssrab2 3571 . . . . 5  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
3 atlatmstc.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 atlatmstc.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
53, 4atssbase 35412 . . . . . 6  |-  A  C_  B
6 rabss2 3569 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  B  ->  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }
8 atlatmstc.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 atlatmstc.u . . . . . 6  |-  .1.  =  ( lub `  K )
103, 8, 9lubss 15950 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } )  -> 
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) 
.<_  (  .1.  `  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } ) )
112, 7, 10mp3an23 1314 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
) )
13 atlpos 35423 . . . . 5  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Poset
)
14133ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  ->  K  e.  Poset )
15 simpl 455 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Poset )
16 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
173, 8, 9, 15, 16lubid 15819 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1814, 17sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
1912, 18breqtrd 4463 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  .<_  X )
20 breq1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
y  .<_  X  <->  x  .<_  X ) )
2120elrab 3254 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  <->  ( x  e.  A  /\  x  .<_  X ) )
22 simpll2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  K  e.  CLat )
23 ssrab2 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  A
2423, 5sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  C_  B
253, 8, 9lubel 15951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  /\  { y  e.  A  |  y  .<_  X }  C_  B )  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )
2624, 25mp3an3 1311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )
2722, 26sylancom 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X } )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )
2827ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  e.  { y  e.  A  |  y 
.<_  X }  ->  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ) )
2921, 28syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  A  /\  x  .<_  X )  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )
3029expdimp 435 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
31 simpll3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  AtLat
)
32 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
3332, 4atn0 35430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  x  e.  A )  ->  x  =/=  ( 0. `  K
) )
3431, 33sylancom 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
3534adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  x  =/=  ( 0. `  K ) )
36 simpl3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  AtLat )
37 atllat 35422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  AtLat  ->  K  e.  Lat )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3938adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
403, 4atbase 35411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  B )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  x  e.  B )
423, 9clatlubcl 15941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
431, 24, 42sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B
)
4443adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  e.  B )
45 simpl1 997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OML )
46 omlop 35363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  OP )
48 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( oc
`  K )  =  ( oc `  K
)
493, 48opoccl 35316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
5047, 43, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
)
5150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )
52 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
533, 8, 52latlem12 15907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  e.  B  /\  (
( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) )  e.  B
) )  ->  (
( x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
5439, 41, 44, 51, 53syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
553, 48, 52, 32opnoncon 35330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  OP  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5647, 43, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
5756breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  x  .<_  ( 0.
`  K ) ) )
593, 8, 32ople0 35309 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  OP  /\  x  e.  B )  ->  ( x  .<_  ( 0.
`  K )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6047, 40, 59syl2an 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  ( 0. `  K
)  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6154, 58, 603bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6261biimpa 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  (
x  .<_  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) )
6362expr 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  ->  x  =  ( 0. `  K ) ) )
6463necon3ad 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  ( x  =/=  ( 0. `  K
)  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
6535, 64mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat
)  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A )  /\  x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } ) )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )
6665ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  (  .1.  `  {
y  e.  A  | 
y  .<_  X } )  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6730, 66syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
68 imnan 420 . . . . . 6  |-  ( ( x  .<_  X  ->  -.  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <->  -.  ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K
) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
6967, 68sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
70 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  X  e.  B )
713, 8, 52latlem12 15907 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( x  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B ) )  -> 
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  <->  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7239, 41, 70, 51, 71syl13anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  <-> 
x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
7369, 72mtbid 298 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  A
)  ->  -.  x  .<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
7473nrexdv 2910 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  -.  E. x  e.  A  x 
.<_  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) ) )
75 simpll3 1035 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  K  e.  AtLat )
76 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
773, 52latmcl 15881 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) )  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7838, 76, 50, 77syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
7978adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B )
80 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )
813, 8, 32, 4atlex 35438 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =/=  ( 0.
`  K ) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8275, 79, 80, 81syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e. 
OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  /\  ( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
) )  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) )
8382ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( X ( meet `  K ) ( ( oc `  K ) `
 (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
) ) )  =/=  ( 0. `  K
)  ->  E. x  e.  A  x  .<_  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) ) ) )
8483necon1bd 2672 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( -.  E. x  e.  A  x  .<_  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  ->  ( X (
meet `  K )
( ( oc `  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
8574, 84mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )
863, 8, 52, 48, 32omllaw3 35367 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8745, 43, 76, 86syl3anc 1226 . 2  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (
( (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  .<_  X  /\  ( X ( meet `  K
) ( ( oc
`  K ) `  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } ) ) )  =  ( 0.
`  K ) )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X }
)  =  X ) )
8819, 85, 87mp2and 677 1  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  K  e.  CLat  /\  K  e.  AtLat )  /\  X  e.  B )  ->  (  .1.  `  { y  e.  A  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   lecple 14791   occoc 14792   Posetcpo 15768   lubclub 15770   meetcmee 15773   0.cp0 15866   Latclat 15874   CLatccla 15936   OPcops 35294   OMLcoml 35297   Atomscatm 35385   AtLatcal 35386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420
This theorem is referenced by:  atlatle  35442  hlatmstcOLDN  35518  pmaple  35882  pol1N  36031  polpmapN  36033  pmaplubN  36045
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