HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atexch Structured version   Unicode version

Theorem atexch 27278
Description: The Hilbert lattice satisfies the atom exchange property. Proposition 1(i) of [Kalmbach] p. 140. A version of this theorem related to vector analysis was originally proved by Hermann Grassmann in 1862. Also Definition 3.4-3(b) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8) (use atnemeq0 27274 to obtain atom inequality). (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
atexch  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  C  C_  ( A  vH  B
) ) )

Proof of Theorem atexch
StepHypRef Expression
1 atelch 27241 . . . . . 6  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
2 chub2 26404 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  C  C_  ( A  vH  C ) )
32ancoms 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  C_  ( A  vH  C ) )
41, 3sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  C 
C_  ( A  vH  C ) )
543adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  C  C_  ( A  vH  C ) )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  /\  ( B  C_  ( A  vH  C
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H ) )  ->  C  C_  ( A  vH  C
) )
7 cvp 27272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( A  i^i  B
)  =  0H  <->  A  <oH  ( A  vH  B ) ) )
8 atelch 27241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
9 chjcl 26253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( A  vH  B
)  e.  CH )
108, 9sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( A  vH  B )  e.  CH )
11 cvpss 27182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH )  -> 
( A  <oH  ( A  vH  B )  ->  A  C.  ( A  vH  B ) ) )
1210, 11syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  B )  ->  A  C.  ( A  vH  B
) ) )
137, 12sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( A  i^i  B
)  =  0H  ->  A 
C.  ( A  vH  B ) ) )
14133adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  i^i  B )  =  0H  ->  A  C.  ( A  vH  B ) ) )
1514adantld 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  A  C.  ( A  vH  B
) ) )
16 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CH  ->  A  e.  CH )
17 chub1 26403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  C ) )
18173adant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  A  C_  ( A  vH  C
) )
1918a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  A  C_  ( A  vH  C
) ) )
2019ancrd 554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  ( A  C_  ( A  vH  C )  /\  B  C_  ( A  vH  C
) ) ) )
21 chjcl 26253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C
)  e.  CH )
22213adant2 1016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  C )  e. 
CH )
23 chlub 26405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  C )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
2422, 23syld3an3 1274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( A  C_  ( A  vH  C )  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  <->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
2520, 24sylibd 214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  C_  ( A  vH  C )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
2616, 8, 1, 25syl3an 1271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( B  C_  ( A  vH  C
)  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
2726adantrd 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
2815, 27jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) ) )
2928imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  /\  ( B  C_  ( A  vH  C
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H ) )  ->  ( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) )
30 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  A  e.  CH )
3193adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  vH  B )  e. 
CH )
3230, 22, 313jca 1177 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH ) )
3316, 8, 1, 32syl3an 1271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e. 
CH  /\  ( A  vH  B )  e.  CH ) )
3414, 26anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
( A  i^i  B
)  =  0H  /\  B  C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  vH  C ) ) ) )
3534ancomsd 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  ( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) ) ) )
36 psssstr 3595 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  vH  C ) )  ->  A  C.  ( A  vH  C ) )
3735, 36syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  A  C.  ( A  vH  C
) ) )
38 chcv2 27253 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( A  C.  ( A  vH  C )  <->  A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
39383adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  C.  ( A  vH  C
)  <->  A  <oH  ( A  vH  C ) ) )
4037, 39sylibd 214 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  A  <oH  ( A  vH  C
) ) )
41 cvnbtwn2 27184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  ( A  vH  C )  e.  CH  /\  ( A  vH  B )  e. 
CH )  ->  ( A  <oH  ( A  vH  C )  ->  (
( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( A  vH  C ) ) ) )
4233, 40, 41sylsyld 56 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  (
( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( A  vH  C ) ) ) )
4342imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  /\  ( B  C_  ( A  vH  C
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H ) )  ->  (
( A  C.  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  vH  C ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( A  vH  C ) ) )
4429, 43mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  /\  ( B  C_  ( A  vH  C
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H ) )  ->  ( A  vH  B )  =  ( A  vH  C
) )
456, 44sseqtr4d 3526 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  /\  ( B  C_  ( A  vH  C
)  /\  ( A  i^i  B )  =  0H ) )  ->  C  C_  ( A  vH  B
) )
4645ex 434 1  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( B  C_  ( A  vH  C )  /\  ( A  i^i  B )  =  0H )  ->  C  C_  ( A  vH  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    i^i cin 3460    C_ wss 3461    C. wpss 3462   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CHcch 25824    vH chj 25828   0Hc0h 25830    <oH ccv 25859  HAtomscat 25860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575  ax-hilex 25894  ax-hfvadd 25895  ax-hvcom 25896  ax-hvass 25897  ax-hv0cl 25898  ax-hvaddid 25899  ax-hfvmul 25900  ax-hvmulid 25901  ax-hvmulass 25902  ax-hvdistr1 25903  ax-hvdistr2 25904  ax-hvmul0 25905  ax-hfi 25974  ax-his1 25977  ax-his2 25978  ax-his3 25979  ax-his4 25980  ax-hcompl 26097
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-lm 19708  df-haus 19794  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cfil 21672  df-cau 21673  df-cmet 21674  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-subgo 25282  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472  df-dip 25589  df-ssp 25613  df-ph 25706  df-cbn 25757  df-hnorm 25863  df-hba 25864  df-hvsub 25866  df-hlim 25867  df-hcau 25868  df-sh 26102  df-ch 26117  df-oc 26148  df-ch0 26149  df-shs 26204  df-span 26205  df-chj 26206  df-chsup 26207  df-pjh 26291  df-cv 27176  df-at 27235
This theorem is referenced by:  atomli  27279  atcvatlem  27282  atcvat4i  27294  mdsymlem3  27302  mdsymlem5  27304
  Copyright terms: Public domain W3C validator