Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atex Structured version   Unicode version

Theorem atex 32883
Description: At least one atom exists. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypothesis
Ref Expression
atex.1  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
atex  |-  ( K  e.  HL  ->  A  =/=  (/) )

Proof of Theorem atex
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atex.1 . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
21hl2at 32882 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  p  =/=  q )
3 df-rex 2720 . . . 4  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  p  =/=  q  <->  E. p ( p  e.  A  /\  E. q  e.  A  p  =/=  q ) )
4 exsimpl 1723 . . . 4  |-  ( E. p ( p  e.  A  /\  E. q  e.  A  p  =/=  q )  ->  E. p  p  e.  A )
53, 4sylbi 198 . . 3  |-  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  p  =/=  q  ->  E. p  p  e.  A )
62, 5syl 17 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  E. p  p  e.  A )
7 n0 3714 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  A )
86, 7sylibr 215 1  |-  ( K  e.  HL  ->  A  =/=  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   E.wrex 2715   (/)c0 3704   ` cfv 5544   Atomscatm 32741   HLchlt 32828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-preset 16116  df-poset 16134  df-plt 16147  df-lub 16163  df-glb 16164  df-join 16165  df-meet 16166  df-p0 16228  df-p1 16229  df-lat 16235  df-clat 16297  df-oposet 32654  df-ol 32656  df-oml 32657  df-covers 32744  df-ats 32745  df-atl 32776  df-cvlat 32800  df-hlat 32829
This theorem is referenced by:  llnn0  32993  lplnn0N  33024  lvoln0N  33068
  Copyright terms: Public domain W3C validator