Theorem atcvr0eq 17064

Description: The covers relation is not transitive. (Th. atcv0eq 11951 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
atcvr0eq.j	|- J = (join` K)
atcvr0eq.z	|- Z = (0.` K)
atcvr0eq.c	|- C = ( <oNEW ` K)
atcvr0eq.a	|- A = (AtomsNEW` K)

Assertion

Ref	Expression
atcvr0eq	|- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (ZC(PJQ) <-> P = Q))

Proof of Theorem atcvr0eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . 6 |- (meet` K) = (meet` K)
2		atcvr0eq.z	. . . . . 6 |- Z = (0.` K)
3		atcvr0eq.a	. . . . . 6 |- A = (AtomsNEW` K)
4	1, 2, 3	atmnem0 17032	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (P =/= Q <-> (P(meet` K)Q) = Z))
5		eqid 1884	. . . . . . 7 |- (base` K) = (base` K)
6		atcvr0eq.j	. . . . . . 7 |- J = (join` K)
7		atcvr0eq.c	. . . . . . 7 |- C = ( <oNEW ` K)
8	5, 6, 1, 2, 7, 3	cvrp 17056	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ P e. (base` K) /\ Q e. A) -> ((P(meet` K)Q) = Z <-> PC(PJQ)))
9	5, 3	atombase 17003	. . . . . 6 |- (P e. A -> P e. (base` K))
10	8, 9	syl3an2 1131	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> ((P(meet` K)Q) = Z <-> PC(PJQ)))
11	5, 2, 7, 3	atomcvr0 17002	. . . . . . 7 |- ((K e. HL /\ P e. A) -> ZCP)
12	11	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> ZCP)
13	12	biantrurd 796	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (PC(PJQ) <-> (ZCP /\ PC(PJQ))))
14	4, 10, 13	3bitrd 603	. . . 4 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (P =/= Q <-> (ZCP /\ PC(PJQ))))
15		simp1 876	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> K e. HL)
16		hlop 17025	. . . . . . 7 |- (K e. HL -> K e. OP)
17	16	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> K e. OP)
18	5, 2	op0cl 16914	. . . . . 6 |- (K e. OP -> Z e. (base` K))
19	17, 18	syl 12	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> Z e. (base` K))
20	9	3ad2ant2 898	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> P e. (base` K))
21	5, 6	latjcl 16852	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K) /\ Q e. (base` K)) -> (PJQ) e. (base` K))
22		hllat 17026	. . . . . 6 |- (K e. HL -> K e. LatNEW)
23	5, 3	atombase 17003	. . . . . 6 |- (Q e. A -> Q e. (base` K))
24	21, 22, 9, 23	syl3an 1139	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (PJQ) e. (base` K))
25	5, 7	cvrntr 17063	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ (Z e. (base` K) /\ P e. (base` K) /\ (PJQ) e. (base` K))) -> ((ZCP /\ PC(PJQ)) -> -. ZC(PJQ)))
26	15, 19, 20, 24, 25	syl13anc 1102	. . . 4 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> ((ZCP /\ PC(PJQ)) -> -. ZC(PJQ)))
27	14, 26	sylbid 220	. . 3 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (P =/= Q -> -. ZC(PJQ)))
28	27	necon4ad 2071	. 2 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (ZC(PJQ) -> P = Q))
29		opreq2 4890	. . . 4 |- (P = Q -> (PJP) = (PJQ))
30	29	breq2d 3350	. . 3 |- (P = Q -> (ZC(PJP) <-> ZC(PJQ)))
31	22	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> K e. LatNEW)
32	5, 6	latjidm 16869	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ P e. (base` K)) -> (PJP) = P)
33	31, 20, 32	syl11anc 524	. . . 4 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (PJP) = P)
34	12, 33	breqtrrd 3363	. . 3 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> ZC(PJP))
35	30, 34	syl5cbi 226	. 2 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (P = Q -> ZC(PJQ)))
36	28, 35	impbid 574	1 |- ((K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A) -> (ZC(PJQ) <-> P = Q))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  joincjn 16766  meetcmee 16767  0.cp0 16832  LatNEWclat 16834  OPcops 16837   <o_NEW ccvr 16980  AtomsNEWcatm 16981  HLchlt 16983

This theorem is referenced by:  atcvrj0 17065

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-plt 16780  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-p0 16841  df-lat 16847  df-clat 16848  df-oposet 16905  df-ol 16907  df-oml 16908  df-covers 16984  df-atoms 16985  df-atlat 16986  df-hlat 17017

Copyright terms: Public domain