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Theorem atcvatlem 27420
Description: Lemma for atcvati 27421. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvatlem  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21hatomici 27394 . . 3  |-  ( A  =/=  0H  ->  E. x  e. HAtoms  x  C_  A )
3 nssne2 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  x  =/=  B
)
43adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  =/=  B )
5 atnemeq0 27412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( x  =/=  B  <->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
64, 5syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  ( x  i^i  B )  =  0H ) )
7 atelch 27379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e. HAtoms  ->  x  e.  CH )
8 cvp 27410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( x  i^i  B
)  =  0H  <->  x  <oH  ( x  vH  B ) ) )
9 atelch 27379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
10 chjcom 26541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( x  vH  B
)  =  ( B  vH  x ) )
119, 10sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( x  vH  B )  =  ( B  vH  x ) )
1211breq2d 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( x  <oH  ( x  vH  B )  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
138, 12bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  B  e. HAtoms )  ->  ( ( x  i^i  B
)  =  0H  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
147, 13sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  i^i  B )  =  0H  <->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
156, 14sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1615ancoms 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1716adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x ) ) )
1817imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  x  <oH  ( B  vH  x
) )
19 chub1 26542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
209, 7, 19syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
21203adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
2221adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  B  C_  ( B  vH  x ) )
23 pssss 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A 
C.  ( B  vH  C )  ->  A  C_  ( B  vH  C
) )
24 sstr 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C_  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2523, 24sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2625adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
)  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
2726adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  x  C_  ( B  vH  C ) )
28 incom 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( B  i^i  x )  =  ( x  i^i  B
)
293, 5syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( x  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
3029ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( (
x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  ( x  i^i 
B )  =  0H ) )
31303adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  ->  (
x  i^i  B )  =  0H ) )
3231imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  (
x  i^i  B )  =  0H )
3328, 32syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( B  i^i  x )  =  0H )
3433adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  i^i  x
)  =  0H )
35 atexch 27416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x
) ) )
369, 35syl3an1 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) ) )
3736adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( x  C_  ( B  vH  C )  /\  ( B  i^i  x )  =  0H )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) ) )
3827, 34, 37mp2and 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  C  C_  ( B  vH  x ) )
39 atelch 27379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
40 simp1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  e.  CH )
41 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  C  e.  CH )
42 chjcl 26392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( B  vH  x
)  e.  CH )
43423adant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  x )  e. 
CH )
4440, 41, 433jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH ) )
459, 7, 39, 44syl3an 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )
)
46 chlub 26544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  x )  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <->  ( B  vH  C )  C_  ( B  vH  x ) ) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( ( B  C_  ( B  vH  x
)  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) ) )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( B  C_  ( B  vH  x
)  /\  C  C_  ( B  vH  x ) )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) ) )
4922, 38, 48mpbi2and 919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  C
)  C_  ( B  vH  x ) )
50 chub1 26542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  C ) )
51503adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  B  C_  ( B  vH  C
) )
5251, 26anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) ) )
53 chjcl 26392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C
)  e.  CH )
54533adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( B  vH  C )  e. 
CH )
55 chlub 26544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  ( B  vH  C )  e. 
CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <->  ( B  vH  x )  C_  ( B  vH  C ) ) )
5654, 55syld3an3 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <->  ( B  vH  x )  C_  ( B  vH  C ) ) )
5756adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( ( B  C_  ( B  vH  C )  /\  x  C_  ( B  vH  C ) )  <-> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) ) )
5852, 57mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH  /\  C  e.  CH )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) )
599, 7, 39, 58syl3anl 1277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  x
)  C_  ( B  vH  C ) )
6049, 59eqssd 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A )  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( B  vH  C
)  =  ( B  vH  x ) )
6160anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  A  /\  -.  B  C_  A ) )  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  ( B  vH  C )  =  ( B  vH  x ) )
6261psseq2d 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x 
C_  A  /\  -.  B  C_  A ) )  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  <-> 
A  C.  ( B  vH  x ) ) )
6362ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  <->  A  C.  ( B  vH  x ) ) ) )
6463ibd 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( x  C_  A  /\  -.  B  C_  A
) )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) )
6564exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x ) ) ) ) )
66653expa 1194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6766an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( -.  B  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6867com34 83 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  C.  ( B  vH  x
) ) ) ) )
6968imp45 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  C.  ( B  vH  x
) )
70 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  x  e.  CH )
7170, 42jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )
)
729, 7, 71syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x )  e. 
CH ) )
73 cvnbtwn3 27323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
741, 73mp3an3 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( ( x  C_  A  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
7574exp4a 604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  x )  ->  A  =  x )
) ) )
7675com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  C_  A  ->  ( x  <oH  ( B  vH  x )  -> 
( A  C.  ( B  vH  x )  ->  A  =  x )
) ) )
7776imp4a 587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CH  /\  ( B  vH  x
)  e.  CH )  ->  ( x  C_  A  ->  ( ( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x ) ) )
7872, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  x  e. HAtoms )  ->  ( x  C_  A  ->  ( (
x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x
) )  ->  A  =  x ) ) )
7978adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( (
x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x
) )  ->  A  =  x ) ) )
8079imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  x  C_  A )  ->  (
( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x )
)
8180adantrr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  (
( x  <oH  ( B  vH  x )  /\  A  C.  ( B  vH  x ) )  ->  A  =  x )
)
8218, 69, 81mp2and 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  =  x )
8382eleq1d 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms )  /\  (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  ( A  e. HAtoms  <->  x  e. HAtoms ) )
8483biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  /\  ( x  C_  A  /\  ( A 
C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) ) )  ->  A  e. HAtoms ) )
8584exp4c 606 . . . . . . 7  |-  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
8685pm2.43b 50 . . . . . 6  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( x  e. HAtoms  ->  ( ( x 
C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms )
) )
8786imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( (
x  C_  A  /\  ( A  C.  ( B  vH  C )  /\  -.  B  C_  A ) )  ->  A  e. HAtoms ) )
8887exp4d 607 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  x  e. HAtoms
)  ->  ( x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
8988rexlimdva 2874 . . 3  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( E. x  e. HAtoms  x  C_  A  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
) ) )
902, 89syl5 32 . 2  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  =/=  0H  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) ) ) )
9190imp32 431 1  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   E.wrex 2733    i^i cin 3388    C_ wss 3389    C. wpss 3390   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   CHcch 25963    vH chj 25967   0Hc0h 25969    <oH ccv 25998  HAtomscat 25999
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cc 8728  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483  ax-hilex 26033  ax-hfvadd 26034  ax-hvcom 26035  ax-hvass 26036  ax-hv0cl 26037  ax-hvaddid 26038  ax-hfvmul 26039  ax-hvmulid 26040  ax-hvmulass 26041  ax-hvdistr1 26042  ax-hvdistr2 26043  ax-hvmul0 26044  ax-hfi 26113  ax-his1 26116  ax-his2 26117  ax-his3 26118  ax-his4 26119  ax-hcompl 26236
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-lm 19816  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cfil 21779  df-cau 21780  df-cmet 21781  df-grpo 25310  df-gid 25311  df-ginv 25312  df-gdiv 25313  df-ablo 25401  df-subgo 25421  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-vs 25609  df-nmcv 25610  df-ims 25611  df-dip 25728  df-ssp 25752  df-ph 25845  df-cbn 25896  df-hnorm 26002  df-hba 26003  df-hvsub 26005  df-hlim 26006  df-hcau 26007  df-sh 26241  df-ch 26256  df-oc 26287  df-ch0 26288  df-shs 26343  df-span 26344  df-chj 26345  df-chsup 26346  df-pjh 26430  df-cv 27314  df-at 27373
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