HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvati Structured version   Unicode version

Theorem atcvati 27128
Description: A nonzero Hilbert lattice element less than the join of two atoms is an atom. (Contributed by NM, 28-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1  |-  A  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
atcvati  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) )  ->  A  e. HAtoms ) )

Proof of Theorem atcvati
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4  |-  A  e. 
CH
21atcvatlem 27127 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)
3 atelch 27086 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e. HAtoms  ->  C  e.  CH )
4 atelch 27086 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. HAtoms  ->  B  e.  CH )
5 chjcom 26247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CH  /\  B  e.  CH )  ->  ( C  vH  B
)  =  ( B  vH  C ) )
63, 4, 5syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( C  vH  B )  =  ( B  vH  C ) )
76psseq2d 3602 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( A  C.  ( C  vH  B
)  <->  A  C.  ( B  vH  C ) ) )
87anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( C  vH  B
) )  <->  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C ) ) ) )
91atcvatlem 27127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( C  vH  B
) ) )  -> 
( -.  C  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)
109ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( C  vH  B
) )  ->  ( -.  C  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) )
)
118, 10sylbird 235 . . . . 5  |-  ( ( C  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) )  ->  ( -.  C  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) )
)
1211ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) )  ->  ( -.  C  C_  A  ->  A  e. HAtoms ) )
)
1312imp 429 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  C  C_  A  ->  A  e. HAtoms )
)
14 chlub 26250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH  /\  A  e.  CH )  ->  (
( B  C_  A  /\  C  C_  A )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  A )
)
15143comr 1204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( B  C_  A  /\  C  C_  A )  <-> 
( B  vH  C
)  C_  A )
)
16 ssnpss 3612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  vH  C ) 
C_  A  ->  -.  A  C.  ( B  vH  C ) )
1715, 16syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  (
( B  C_  A  /\  C  C_  A )  ->  -.  A  C.  ( B  vH  C ) ) )
1817con2d 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  -.  ( B  C_  A  /\  C  C_  A ) ) )
19 ianor 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( B  C_  A  /\  C  C_  A )  <-> 
( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) )
2018, 19syl6ib 226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CH  /\  B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  ->  ( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) ) )
211, 20mp3an1 1311 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  CH  /\  C  e.  CH )  ->  ( A  C.  ( B  vH  C )  -> 
( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) ) )
224, 3, 21syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( A  C.  ( B  vH  C
)  ->  ( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) ) )
2322imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  A  C.  ( B  vH  C ) )  ->  ( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) )
2423adantrl 715 . . 3  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  -> 
( -.  B  C_  A  \/  -.  C  C_  A ) )
252, 13, 24mpjaod 381 . 2  |-  ( ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms )  /\  ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) ) )  ->  A  e. HAtoms )
2625ex 434 1  |-  ( ( B  e. HAtoms  /\  C  e. HAtoms
)  ->  ( ( A  =/=  0H  /\  A  C.  ( B  vH  C
) )  ->  A  e. HAtoms ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    C_ wss 3481    C. wpss 3482  (class class class)co 6295   CHcch 25669    vH chj 25673   0Hc0h 25675  HAtomscat 25705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825  ax-hcompl 25942
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-subgo 25127  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-dip 25434  df-ssp 25458  df-ph 25551  df-cbn 25602  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-hcau 25713  df-sh 25947  df-ch 25962  df-oc 25993  df-ch0 25994  df-shs 26049  df-span 26050  df-chj 26051  df-chsup 26052  df-pjh 26136  df-cv 27021  df-at 27080
This theorem is referenced by:  atcvat2i  27129
  Copyright terms: Public domain W3C validator